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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 21 juin 2012}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 21 juin 2012 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle $[-3~;~2]$. 

On dispose des informations suivantes:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $f(0) = - 1$.
\item[$\bullet~$] la dérivée $f'$ de la fonction $f$ admet la courbe représentative $\mathcal{C}'$ ci-dessous.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](-3,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=4,Dy=4](0,0)(-3.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=4,Dy=4]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 1 add 2 x sub mul 0.5 mul 2.71828 x 2 div exp mul}
\uput[d](-2.7,-1.2){\blue$\mathcal{C}'$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center} 

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3, -1],\: f^{\prime}(x) \leqslant 0$. 
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[-1
~;~ 2]$.
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-3~;~2], \:f(x) \geqslant -1$.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
 
La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1~;~0). 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier.

40\,\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise.

Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\,\% d'entre eux sont retenus.

Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\,\% des candidats rencontrés.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg,
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg,
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$~}\taput{\ldots}}
	{
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center}
\medskip

		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.

Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate}
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.

On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Il est possible de traiter la partie C sans avoir traité la partie B.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{x + 1} + \ln \left(\dfrac{x}{x + 1}\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[$, $f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x(x+1)^2}$.

Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier strictement positif par 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\] 

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{2.5cm}p{6cm}|}\hline 
Variables:&$i$ et $n$ sont des entiers naturels.\\
& $u$ est un réel.\\
Entrée:&Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\
Initialisation:& Affecter à $u$ la valeur 0.\\
Traitement:&Pour $i$ variant de 1 à $n$.\\
&\hspace{0,5cm}$\left\vert \text{Affecter à}\: u\: \text{la valeur} \:u + \dfrac{1}{i}\right.$\\
Sortie : &Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l'utilisateur entre la valeur $n = 3$. 
\item Recopier et compléter l'algorithme précédent afin qu'il affiche la valeur de $u_{n}$ lorsque l'utilisateur entre la valeur de $n$.
\item Voici les résultats fournis par l'algorithme modifié, arrondis à $10^{-3}$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &100 &\np{1000} &\np{1500} &\np{2000}\\ \hline
$u_{n}$&0,697&0,674& 0,658 &0,647 &0,638 &0,632 &0,626 &0,582 &0,578 &0,578& 0,577\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

À l'aide de ce tableau, formuler des conjectures sur le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$ et son éventuelle convergence. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette partie peut être traitée indépendamment de la partie B.

Elle permet de démontrer les conjectures formulées à propos de la suite $\left(u_{n}\right)$ telle que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n} - \ln n.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout entier strictement positif $n$, 

\[u_{n+1} - u_{n} = f(n)\]

où $f$ est la fonction définie dans la partie A.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier strictement positif.

Justifier l'inégalité $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \left(\dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x \geqslant 0$.

En déduire que $\displaystyle\int_{k}^{k + 1} \dfrac{1}{x}\:\text{d}x \leqslant \dfrac{1}{k}$.

Démontrer l'inégalité 	$\ln (k + 1) - \ln k \leqslant  \dfrac{1}{k}$ \quad (1).
		\item Écrire l'inégalité (1) en remplaçant successivement $k$ par 1, 2, \ldots , $n$ et démontrer que pour tout entier strictement positif $n$,

\[\ln (n + 1) \leqslant  1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n}.\]

		\item En déduire que pour tout entier strictement positif $n,u_{n} \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item Prouver que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On ne demande pas de calculer sa limite.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.

On appelle $f$ l'application qui à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de $- 1$, fait correspondre le  
point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{z + 1}$. 

Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $x = - \dfrac{1}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soient A, B et C les points d'affixes respectives

\[z_{\text{A}} = - \dfrac{1}{2},\quad  z_{\text{B}} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = - \dfrac{1}{2}  - \dfrac{1}{2} \text{i}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Placer les trois points A, B et C sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique.
		\item Calculer les affixes des points A$' = f(\text{A}), \text{B}' = f(\text{B})$ et C$' = f$(C) et placer les points A', B'et C' sur la figure.
		\item Démontrer que les points A$'$, B$'$ et C$'$ ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $z + 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
		\item Sans donner d'explication, placer les points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ de A, B et C et tracer la droite $\mathcal{D}_{1}$, image de la droite $\mathcal{D}$ par $g$.
		\item Démontrer que $\mathcal{D}_{1}$ est l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ telle que $|z - 1| = |z|$.
	\end{enumerate}
\item  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, associe le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $h\left(\text{A}_{1}\right) = \text{A}', h\left(\text{B}_{1}\right) = \text{B}'$ et $h \left(\text{C}_{1}\right) = \text{C}'$.
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a : 

\[\left|\dfrac{1}{z} - 1\right| = 1 \iff  |z - 1| = |z|.\]

		\item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
		 
On admet que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est le cercle $\mathcal{C}$ privé de O.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv.
 
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -1 + \text{i},\quad  z_{\text{B}} = 2\text{i}\quad \text{et} \quad  z_{\text{C}} = 1 + 3\text{i}.\]

et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x + 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite $\mathcal{D}$.

Sur une figure que l'on fera sur la copie en prenant 2~cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite $\mathcal{D}$. 
\item Résoudre l'équation $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i} = 0$ et vérifier que la solution de cette équation est l'affixe d'un point qui n'appartient pas à la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ différente de  $-1 + 2\text{i}$, fait correspondre le point $M'$ d'affixe $\dfrac{1}{(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}}$.

\medskip

Le but de l'exercice est de déterminer l'image par $f$ de la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\item Soit $g$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, fait correspondre le point $M_{1}$ d'affixe $(1 + \text{i})z + 3 - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $g$.
		\item Calculer les affixes des points A$_{1}$, B$_{1}$ et C$_{1}$, images respectives par $g$ des points A, B et C.
		\item Déterminer l'image $\mathcal{D}_{1}$ de la droite $\mathcal{D}$ par la transformation $g$ et la tracer sur la figure.
	\end{enumerate}
\item  Soit $h$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, fait correspondre le point $M_{2}$ d'affixe $\dfrac{1}{z}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes des points $h\left(\text{A}_{1}\right),\: h\left(\text{B}_{1}\right)$ et $h\left(\text{A}_{1}\right)$ et placer ces points sur la figure.
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul $z$, on a :

\[\left|\dfrac{1}{z}- \dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} \iff |z - 2| = |z|.\]

		\item En déduire que l'image par $h$ de la droite $\mathcal{D}_{1}$ est incluse dans un cercle $\mathcal{C}$ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.
		\item Démontrer que tout point du cercle $\mathcal{C}$ qui est distinct de O est l'image par $h$ d'un point de la droite $\mathcal{D}_{1}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $\mathcal{D}$.
 \end{enumerate}
 \end{document}