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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. {}P. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small juin 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole juin 2004 \decofourright}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0		&	=	&\phantom{u_n +2n +} 1\\
u_{n+1}	& 	=	&u_n +2n + 3\quad \text{pour tout entier naturel} \quad n.
\end{array} \right.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ u_n > n^2$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\item Conjecturer une expression de $u_n$, en fonction de $n$, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de 
spécialité}

\medskip

Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $(1 + \text{i})^6 = - 8\text{i}$.
\item On considère l'équation (E) : $z^2 = - 8\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de \textbf{1.} une solution de l'équation (E).
		\item L'équation (E) possède une autre solution ; écrire cette 
solution sous forme algébrique.
	\end{enumerate}
\item Déduire également de \textbf{1.} une solution de l'équation (E') $z^3 = - 8\text{i}$.
\item On considère le point A d'affixe 2i et la rotation $r$ de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $b$ du point $B$, image de A par $r$, ainsi que l'affixe $c$ du point $C$, image de $B$ par $r$.
		\item Montrer que $b$ et $c$ sont solutions de (E$'$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 2~cm), représenter les points A, $B$ et $C$.
		\item Quelle est la nature de la figure que forment les images de ces solutions ?
		\item Déterminer le centre de gravité de cette figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$ et pour tout entier naturel $x$ :

\[(x-1)\left(1 +x + x^2 + \cdots + x^{k-1}\right) = x^k - 1.\]

Dans toute la suite de l'exercice, on considère un nombre entier $a$ supérieur ou égal à 2.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un entier naturel non nul et $d$ un diviseur positif de $n~:~n = dk$.

Montrer que $a^d- 1$ est un diviseur de $a^n - 1$.
		\item Déduire de la question précédente que $2^{\np{2004}} - 1$ est divisible par 7, par 63 puis par 9.
	\end{enumerate}
\item Soient $m$ et $n$ deux entiers naturels non nuls et $d$ leur pgcd.
	\begin{enumerate}
		\item On définit $m'$ et $n'$ par $m = dm'$ et $n = dn'$. En appliquant le théorème  de Bezout à $m'$ et $n'$, montrer qu'il existe des entiers relatifs $u$  et $v$ tels que : $mu - nv = d$.
		\item On suppose $u$ et $v$ strictement positifs.

Montrer que : $\left(a^{mu} - 1 \right) - \left(a^{nv} - 1 \right) a^d = 
a^d - 1$.

Montrer ensuite que $a^d - 1$ est le pgcd de $a^{mu} - 1$ et de $a^{nv} - 1$.
		\item Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de $2^{63} - 1$ et de $2^{60} - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l'absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on donne le point
S$(1~;~- 2~;~0)$ et le plan P d'équation $x + y - 3z + 4 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et  perpendiculaire au plan P est :

\[\textbf{A} : \left\{\begin{array}{l c l}
x&=	&\phantom{-}1 + \phantom{3}t\\
y&= &\phantom{-}1 - 2t\\
z&=	&-3\\
\end{array}\right.,~ t \in \R \quad \textbf{B} :
\left\{\begin{array}{l c r}
x	&= &\phantom{-}2 + \phantom{3}t\\
y 	&= &-1 + \phantom{3}t\\
z	&= &\phantom{-}1 - 3t \end{array}\right.,~ t \in \R\]

\[ \quad \textbf{C} :
\left\{\begin{array}{l c r}
x	&= 	&1 + \phantom{3}t\\
y	&=	&-2 - 2t\\
z	&=	&3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \textbf{D} :
\left\{\begin{array}{l c r}
x	&=	&2 + \phantom{3}t\\
y	&=	&- 1 + \phantom{3}t\\
z	&=	&- 3 - 3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R.\]

\item Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A~} : $(-4~;~0~;~0)$&\textbf{B~} : 
$\left(\dfrac{6}{5}~;~\dfrac{-9}{5}~;~\dfrac{3}{5} \right)$ &
\textbf{C~} : $\left(\dfrac{7}{9}~;~\dfrac{-2}{3}~;~\dfrac{1}{3} \right)$ &\textbf{D~}~:~$\left(\dfrac{8}{11}~;~\dfrac{-25}{11}~;~\dfrac{9}{11}\right)$
\end{tabularx}

\item La distance du point S au plan P est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A} : $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$&\textbf{B} : $\dfrac{3}{\sqrt{11}}$ 
& \textbf{C} : $\dfrac{9}{\sqrt{11}}$& \textbf{D} : $\dfrac{9}{11}$
\end{tabularx}

\item On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère
 S et du plan P est égale

\textbf{A} : au point I$(1~;~-5~;~0)$

\textbf{B} : au cercle de centre H et de rayon $r = 3\sqrt{\dfrac{10}{11}}$

\textbf{C} : au cercle de centre S et de rayon $r = 2$

\textbf{D} : au cercle de centre H et de rayon $r = \dfrac{3\sqrt{10}}{11}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d'un composant électronique.
On modélise cette situation par une loi de probabilité $p$ de durée de vie sans vieillissement définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de $t$ semaines est

\[p([0~;~t[) = \displaystyle\int_0^t \lambda \text{e}^{-\lambda 
x}\:\text{d}x.\]

Une étude statistique, montrant qu'environ $50\:\%$ d'un lot important de 
ces composants sont encore en état de marche au bout de 200 semaines, permet de poser $p([0~;~200[) = 0,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\lambda = \dfrac{\ln 2}{200}$.
\item Quelle est la probabilité qu'un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure ? 300 semaines ? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près.
\item On admet que la durée de vie moyenne $d_m$ de ces composants est la limite quand $A$ tend vers $+ \infty$ de $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $\displaystyle\int_0^A \lambda x\text{e}^{-\lambda x}\:\text{d}x = \dfrac{- \lambda A\text{e}^{-\lambda A} - \text{e}^{- \lambda A} + 1}{\lambda}$.
		\item En déduire $d_m$ on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 5 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\vspace{0,8cm}

\begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(13.2,4.5)
\psline[linewidth=2pt](0,1.7)(12.2,1.7)
\psline(0.5,0)(0.5,2.2)
\psline{<->}(0.5,0.5)(6.4,0.5)
\psline{->}(6.4,3.4)(11.4,3.4)
\psline{->}(6.4,3.4)(6.4,0)
\psline(4.1,2.45)(3.5,2.45)(2.9,4.4)(9.9,4.4)(9.4,2.45)(8.7,2.45)
\psline(5.1,2.45)(7.7,2.45)
\pscircle(4.6,2.25){0.55}
\pscircle(8.2,2.25){0.55}
\uput[d](0,1.7){O} \uput[dl](6.4,1.7){H}
\uput[u](11.4,3.4){$\vect{\text{F}}$}
\uput[u](2.3,0.5){$x$}
\end{pspicture}\end{center}

Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. 
Il est soumis à une force d'entraînement constante 
$\vect{\text{F}}$ de valeur 50~N. Les forces de frottement sont 
proportionnelles ? la vitesse et de sens contraire ; le coefficient
 de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m$^{-1}$.s.

La position du chariot est repérée par la distance $x$, en mètres, du point H \`a l'origine O du repère en fonction du temps $t$, exprimé en secondes. On prendra $t$ dans l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement

\[(\text{E}) \qquad 25x' + 200x'' = 50,~ \text{où}\]

$x'$ est la dérivée de $x$ par rapport au temps $t$,

$x''$ est la dérivée seconde de $x$ par rapport au temps $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $v(t)$ la vitesse du chariot au temps $t$ ; on rappelle 
que $v(t) = x'(t)$.

Prouver que $x$ est solution de (E) si et seulement si $x'$ est solution de l'équation différentielle (F)\quad $v' = - \dfrac{1}{8}v + \dfrac{1}{4}$.

Résoudre l'équation différentielle (F).

\item On suppose que, à l'instant $t = 0$, on a : $x(0) = 0$ et $x'(0) = 
0$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout nombre réel $t$ positif, $x'(t)$.
		\item En déduire que l'on a, pour tout nombre réel $t$ positif,
		
$x(t) = 2t - 16 + 16\text{e}^{\frac{-t}{8}}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer V = $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t)$ . Pour quelles valeurs de $t$ la vitesse du chariot est-elle inférieure ou égale \`a  $90\,\%$ de sa valeur limite V ?
\item Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30~secondes ? 

On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.
\end{enumerate}
\end{document}