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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 15 juin 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 15 juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni du repère orthonormal \Oijk. Soient (P) et (P$'$) les plans d'équations respectives $x + 2y - z + 1 = 0$ et $- x + y + z = 0$. Soit A le point de coordonnées (0~;~1~;~1).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les plans (P) et (P$'$) sont perpendiculaires.
\item Soit ($d$) la droite dont une représentation paramétrique est :
\[\renewcommand\arraystretch{1.4}\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&- \frac{1}{3} + t\\
y&=&- \frac{1}{3}\phantom{+\: t}\\
z&=& t\\
\end{array}\right. ~~\text{où}~ t~ \text{est un nombre réel.}\]

Démontrer que les plans (P) et (P$'$) se coupent selon la droite ($d$).
\item Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P$'$).
\item En déduire la distance du point A à la droite ($d$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Démontrer la formule d'intégration par parties en utilisant la formule de dérivation d'un produit de deux fonctions dérivables, à dérivées continues sur un intervalle $[a~;~b]$.
\item  Soient les deux intégrales définies par

\[\text{I} = \displaystyle\int_{0}^{\pi}  \text{e}^x \sin x\:\text{d}x~~\text{ et  J}  = \displaystyle\int_{0}^{\pi} \text{e}^x \cos x\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que I = $- \text{J}$ et que $\text{I}= \text{J} + \text{e}^{\pi} + 1$. 
		\item  En déduire les valeurs exactes de I et de J.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation :

\[ (\text{E}) \quad  z^3-(4+\text{i}) z^2 +(13+4\text{i}) z -13\text{i} = 0\]

où $z$ est un nombre complexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que le nombre complexe i est solution de cette équation.
\item Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait :
\[z^3 -(4 + \text{i}) z^2 +(13 + 4\text{i}) z - 13\text{i} = (z - \text{i}) \left(az^2 + bz + c\right).\]
\item En déduire les solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on désigne par A, B et C les points d'affixes respectives i, $2 +3\text{i}$ et $2 - 3\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $r$ la rotation de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. Déterminer l'affixe du point A$'$, image du point A par la rotation $r$.
\item Démontrer que les points A$'$, B et C sont alignés et déterminer l'écriture complexe de l'homothétie de centre B qui transforme C en A$'$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{La figure est proposée en annexe $1$. Elle sera complétée tout au long de l'exercice.}

\medskip

Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C, d'affixes respectives $-5+6\text{i},~- 7 -2\text{i}$ et $3 - 2\text{i}$. On admet que le point F, d'affixe $-2 +\text{i}$ est le centre du cercle $\Gamma$ circonscrit au triangle ABC.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit H le point d'affixe $-5$. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude directe de centre A qui transforme le point C en le point H.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Étant donné des nombres complexes $z$ et $z'$, on note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $z'$. Soient $a$ et $b$ des nombres complexes.
		
Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z'= a\overline{z}+b$ qui, au point $M$, associe le point $M'$.

Déterminer $a$ et $b$ pour que les points A et C soient invariants par $s$. Quelle est alors la nature de $s$ ? 
		\item  En déduire l'affixe du point E, symétrique du point H par rapport à la droite (AC).
		\item  Vérifier que le point E est un point du cercle $\Gamma$.
	\end{enumerate}
\item  Soit I le milieu du segment [AC].

Déterminer l'affixe du point G, image du point I par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{2}{3}$.

Démontrer que les points H, G et F sont alignés.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On donnera sur la feuille la réponse choisie sans justification.  Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.\\
Dans certaines questions, les résultats proposés ont été arrondis à $10 ^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un représentant de commerce propose un produit à la vente. Une étude statistique a permis d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est égale à 0,2. Il voit cinq clients par matinée en moyenne. La probabilité qu'il ait vendu exactement deux produits dans une matinée est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} \quad  0,4&	\textbf{b.} \quad 0,04&	\textbf{c.} \quad \np{0,1024} &	\textbf{d.}\quad \np{0,2048}
\end{tabularx}
\medskip

\item Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l'a eu du premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu son permis du premier coup est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} \quad 0,043&\textbf{b.} \quad 0,275&\textbf{c.} \quad 0,217 &\textbf{d.} \quad 0,033
\end{tabularx}\medskip

\item Dans la classe de la question 2, on interroge un élève au hasard parmi ceux ayant eu leur permis du premier coup. La probabilité que cet élève soit un garçon est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} \quad 0,100&	\textbf{b.} \quad 0,091&\textbf{c.} \quad 0,111 &\textbf{d.} \quad 0,25
\end{tabularx}\medskip

\item Un tireur sur cible s'entraîne sur une cible circulaire comportant trois zones délimitées par des cercles concentriques, de rayons respectifs 10, 20 et 30~centimètres. On admet que la probabilité d'atteindre une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone et que le tireur atteint toujours la cible. La probabilité d'atteindre la zone la plus éloignée du centre est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}\quad $\dfrac{5}{9}$ &\textbf{b.} \quad $\dfrac{9}{14}$&\textbf{c.} \quad $\dfrac{4}{7}$&\textbf{d.} \quad $\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]- 1~;~ + \infty[$ par :

\[f(x) = x - \dfrac{\ln (1 + x)}{1 + x}.\]

La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée sur le document annexe 2 que l'on complétera et que l'on rendra avec la copie.

\medskip

\textbf{Partie A : Étude de certaines propriétés de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f '(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$.
\item Pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~+ \infty[$, on pose $N(x) = (1+x)^2 - 1 + \ln (1 +x)$.

Vérifier que l'on définit ainsi une fonction strictement croissante sur $]- 1~;~+ \infty[$.

Calculer $N(0)$. En déduire les variations de $f$.
\item Soit $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x$.
Calculer les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : Étude d'une suite récurrente définie à partir de la fonction}\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que si $x \in [0~;~4]$, alors $f(x) \in [0~;~4]$.
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par :

\[\left\{\begin{array}{l cl}
 u_{0}& =&4 \quad\text{ et}\\
 u_{n+1} &=&f\left(u_{n}\right)~ \text{pour tout}~ n~  \text{de}~ \N.\\
 \end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de l'annexe 2, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points de $\mathcal{C}$ d'abscisses $u_{0}~, u_{1},~ u_{2}$ et $u_{3}$.
		\item Démontrer que pour tout $n$ de $\N$ on a :  $u_{n} \in [0~ ;~ 4]$.
		\item Étudier la monotonie de la suite $\left(u_{n}\right)$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente. On désigne par $\ell$ sa limite.
		\item Utiliser la partie A pour donner la valeur de $\ell$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\bigskip

\emph{À compléter et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 5}

\medskip

\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,5.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,,subgriddiv=1,griddots=10,gridcolor=orange,gridwidth=1.5pt](-1,-1)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(6,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](1,0){1} \uput[dl](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](6.2,0){$x$} \uput[r](0,5.5){$y$}
\uput[dr](5.4,5){\blue$\mathcal{C}$} \uput[ul](5,5){$\mathcal{D}$}
\psline(-1,-1)(5.5,5.5)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.76}{5.7}{x 1 x add ln 1 x add div sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

\emph{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\emph{À compléter et à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\psset{unit=0.65cm}
\begin{pspicture}(-9,-5)(9,9)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-9,-5)(9,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](9,0){$x$}
\uput[l](0,7){$y$} \uput[ul](-5,6){A} \uput[dl](-7,-2){B}
\psdots(-5,6)(-7,-2)
\pscircle(-2,1){5.83}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-5){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-4){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-3){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-2){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-1){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,-0){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,1){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,2){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,3){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,4){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,5){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,6){$\cdot$}}
\multido{\n=-9+1}{19}{\rput(\n,7){$\cdot$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}