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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2005~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par
 
\[f(x) = (20x + 10)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 1~cm).

\begin{enumerate}
\item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
\item Établir que l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $y(t)$ la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant $t,~t$ étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant $t =  0$, est

$y(0) = 10$.

On admet que la fonction qui, à tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ associe $y(t)$, est solution de l'équation différentielle (E) :

\[y' + \dfrac{1}{2}y = 20\text{e}^{-\frac{1}{2}t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} est solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item On se propose de démontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'équation différentielle (E), définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, qui prend la valeur $10$ à l'instant $0$.
	\begin{enumerate}
		\item On note $g$ une solution quelconque de l'équation différentielle (E), définie sur $[0~;~+ \infty[$ vérifiant $g(0) = 10$. Démontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, de l'équation différentielle :

(E$'$) $y'+ \dfrac{1}{2}y = 0$.
		\item Résoudre l'équation différentielle (E$'$).
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\item Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redes\-cent-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute.
\item La valeur $\theta$ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3].

Calculer la valeur exacte de $\theta$, puis donner la valeur approchée décimale de $\theta$ arrondie au degré.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée  $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. On a alors :

\[\begin{array}{l l}
\textbf{A}~ :~z^{14} = - 128\sqrt{3} - 128\text{i}.&	\textbf{C}~:~z^{14} =  - 64 + 64\text{i}\sqrt{3}.\\
\textbf{B}~ :~ z^{14} = 64 - 64\text{i}.&	 \textbf{D}~:~z^{14} = - 128 + 128\text{i}\sqrt{3}\\
\end{array}\]

\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe $4\text{i}$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 3| = |3 - 4\text{i}|$.

\textbf{A} : (E) est la médiatrice du segment [ST] ;

\textbf{B} : (E) est la droite (ST) ;

\textbf{C} : (E) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3 -4\text{i}$, et de rayon 3 ;

\textbf{D} : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5.

\item On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à :

\[\textbf{A}~:~\sqrt{3} \qquad \textbf{B}~:~- 3 \qquad \textbf{C}~:~-\sqrt{3} \qquad \textbf{D}~;~\dfrac{3}{2}.\]

\item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}$ ; soit $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

\textbf{A} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = - 1$.

\textbf{B} : $\Gamma$ n'admet pas d'asymptote.

\textbf{C} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = x$.

\textbf{D} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = 1$.

\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t^2} \:\text{d}t$. La fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$ sur $\R$, est définie par :

\[\begin{array}{l l}
\textbf{A}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x - 2t\text{e}^{-t^2} \:\text{d}t. &	\textbf{C}~ :~f''(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}.\\
\textbf{B}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x  -2x\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x.&\textbf{D}~:~f''(x) = \text{e}^{-x^2}.\\
\end{array}\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.}

\emph{Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. Chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation :

\[x^2 - x + 4 \equiv  0\quad  (\text{modulo}~ 6).\]

\textbf{A} : toutes les solutions sont des entiers pairs.

\textbf{B} : il n'y a aucune solution.

\textbf{C} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$. 

\textbf{D} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$  ou $x \equiv 5 \quad  (\text{modulo}~ 6)$.

\item On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.

\textbf{A} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme: $(x~;~y) = (34k - 7~;~ 5 - 24k),~ k \in \Z$.

\textbf{B} : L'équation (E) n'a aucune solution.

\textbf{C} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) =  (17k - 7~;~ 5 - 12k),$

$k \in \Z$.

\textbf{D} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) = (- 7k~;~ 5k),~ k \in \Z$.
\item On considère les deux nombres $n = \np{1789}$ et $p = \np{1789}^{\np{2005}}$. On a alors :

\textbf{A} : $ n \equiv 4\quad  (\text{modulo}~ 17)$ et $p \equiv 0\quad  (\text{modulo}~ 17)$.

\textbf{B} : $p$ est un nombre premier. 

\textbf{C} : $p \equiv 4\quad  (\text{modulo}~17)$.

\textbf{D} : $ p \equiv 1\quad (\text{modulo}~17)$.
\item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. Le triangle $M$AB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point $M$ d'affixe $z$ est tel que :

\medskip

\begin{tabular}{l l}
\textbf{A} :	$z = \dfrac{b - \text{i}a}{1 - \text{i}}$.&\hspace{1,5cm}	\textbf{C} :  $a - z =\text{i}(b - z)$.\\
\textbf{B} : $ z - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(b - a)$.&\hspace{1,5cm} \textbf{D} : $b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)$.\\
\end{tabular}

\medskip

\item On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre 1.

\textbf{A} : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation.

\textbf{B} : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB].

\textbf{C} : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude.

\textbf{D} : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$.
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B$(1~;~-2~;~1)$	 et de vecteur normal $\vect{n}(-2~;~1~;~5)$ et le plan  $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne $x + 2y - 7 = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires.
		\item Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C$(-1~;~4~;~-1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$.
		\item Soit le point A$(5~;~- 2~;~-1)$. Calculer la distance du point A au plan $\mathcal{P}$, puis la distance du  point A au plan $\mathcal{R}$.
		\item Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées

$(1 + 2t~;~3 - t~;~t)$.

Déterminer en fonction de $t$ la longueur A$M_{t}$. On note $\varphi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\R$ dans $\R$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $\varphi$  sur $\R$ ; préciser son minimum.
		\item Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré.

Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer  on note la couleur de la face cachée.

On considère les évènements suivants :

E est l'évènement \og à l'issue d'une partie, les deux faces notées sont vertes \fg,

F est l'évènement \og à l'issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F.
\item On effectue dix parties identiques et indépendantes.

Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux fois l'évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à $10^{-3}$ près).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme  parfaitement équilibré.

Pour cela on numérote de 1 à 4  les quatre faces de  ce dé, puis on lance, ce dé 160~fois en notant le nombre $n_{i}$ de fois  où chaque face est cachée ;  on obtient les  résultats suivants :

\[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
face $i$			&1		&	2	&	3	&	4\\ \hline
effectif  $n_{i}$	&30 	& 48 	&46 	& 32\\ \hline
\end{tabularx}\]

On note $f_{i}$ la fréquence relative à la face $n_{i}$ et $d_{\text{obs}}^2$ le réel $\displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(f_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$.

On simule ensuite \np{1000} fois l'expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l'ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour chaque simulation, on calcule 

$d^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(F_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$, où $F_{i}$ est la fréquence d'apparition du nombre $i$. Le $9\up{e}$ décile de la série statistique	 des \np{1000} valeurs de $d^2$ est égal à \np{0,0098}.

Au vu de l'expérience réalisée et au risque de 10\,\%, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ?
\end{document}