%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \usepackage{diagbox} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage{pst-eucl} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {S Métropole}, pdftitle = {septembre 2005}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2005}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole septembre 2005~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (20x + 10)\text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 1~cm). \begin{enumerate} \item Étudier la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations. \item Établir que l'équation $f(x) = 10$ admet une unique solution strictement positive $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$. Donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près de $\alpha$. \item Tracer la courbe $\mathcal{C}$. \item Calculer l'intégrale I $= \displaystyle\int_{0}^3 f(x)\:\text{d}x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On note $y(t)$ la valeur, en degrés Celsius, de la température d'une réaction chimique à l'instant $t,~t$ étant exprimé en heures. La valeur initiale, à l'instant $t = 0$, est $y(0) = 10$. On admet que la fonction qui, à tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ associe $y(t)$, est solution de l'équation différentielle (E) : \[y' + \dfrac{1}{2}y = 20\text{e}^{-\frac{1}{2}t}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie A} est solution de l'équation différentielle (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item On se propose de démontrer que cette fonction $f$ est l'unique solution de l'équation différentielle (E), définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, qui prend la valeur $10$ à l'instant $0$. \begin{enumerate} \item On note $g$ une solution quelconque de l'équation différentielle (E), définie sur $[0~;~+ \infty[$ vérifiant $g(0) = 10$. Démontrer que la fonction $g - f$ est solution, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, de l'équation différentielle : (E$'$) $y'+ \dfrac{1}{2}y = 0$. \item Résoudre l'équation différentielle (E$'$). \item Conclure. \end{enumerate} \item Au bout de combien de temps la température de cette réaction chimique redes\-cent-elle à sa valeur initiale ? Le résultat sera arrondi à la minute. \item La valeur $\theta$ en degrés Celsius de la température moyenne à cette réaction chimique durant les trois premières heures est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 3]. Calculer la valeur exacte de $\theta$, puis donner la valeur approchée décimale de $\theta$ arrondie au degré. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.\\ Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ le nombre complexe de module $\sqrt{2}$ et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$. On a alors : \[\begin{array}{l l} \textbf{A}~ :~z^{14} = - 128\sqrt{3} - 128\text{i}.& \textbf{C}~:~z^{14} = - 64 + 64\text{i}\sqrt{3}.\\ \textbf{B}~ :~ z^{14} = 64 - 64\text{i}.& \textbf{D}~:~z^{14} = - 128 + 128\text{i}\sqrt{3}\\ \end{array}\] \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, le point S d'affixe 3 et le point T d'affixe $4\text{i}$. Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $|z - 3| = |3 - 4\text{i}|$. \textbf{A} : (E) est la médiatrice du segment [ST] ; \textbf{B} : (E) est la droite (ST) ; \textbf{C} : (E) est le cercle de centre $\Omega$ d'affixe $3 -4\text{i}$, et de rayon 3 ; \textbf{D} : (E) est le cercle de centre S et de rayon 5. \item On considère un hexagone régulier ABCDEF, dont les côtés sont de longueur 1. Le produit scalaire $\vect{\text{AC}} \cdot \vect{\text{CF}}$ est égal à : \[\textbf{A}~:~\sqrt{3} \qquad \textbf{B}~:~- 3 \qquad \textbf{C}~:~-\sqrt{3} \qquad \textbf{D}~;~\dfrac{3}{2}.\] \item Une fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]- \infty~;~0]$ par $g(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 - 2x}}{x - 3}$ ; soit $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \textbf{A} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = - 1$. \textbf{B} : $\Gamma$ n'admet pas d'asymptote. \textbf{C} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = x$. \textbf{D} : $\Gamma$ admet une asymptote d'équation $y = 1$. \item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t^2} \:\text{d}t$. La fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$ sur $\R$, est définie par : \[\begin{array}{l l} \textbf{A}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x - 2t\text{e}^{-t^2} \:\text{d}t. & \textbf{C}~ :~f''(x) = - 2x\text{e}^{-x^2}.\\ \textbf{B}~ :~ f''(x) = \displaystyle\int_{0}^x -2x\text{e}^{-x^2}\:\text{d}x.&\textbf{D}~:~f''(x) = \text{e}^{-x^2}.\\ \end{array}\] \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.} \emph{Chaque réponse exacte rapporte $1$ point. Chaque réponse fausse enlève $0,5$ point. Une absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. Aucune justification n'est demandée.} \medskip \begin{enumerate} \item On considère dans l'ensemble des entiers relatifs l'équation : \[x^2 - x + 4 \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 6).\] \textbf{A} : toutes les solutions sont des entiers pairs. \textbf{B} : il n'y a aucune solution. \textbf{C} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$. \textbf{D} : les solutions vérifient $x \equiv 2 \quad (\text{modulo}~ 6)$ ou $x \equiv 5 \quad (\text{modulo}~ 6)$. \item On se propose de résoudre l'équation (E) : $24x + 34y = 2$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \textbf{A} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme: $(x~;~y) = (34k - 7~;~ 5 - 24k),~ k \in \Z$. \textbf{B} : L'équation (E) n'a aucune solution. \textbf{C} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) = (17k - 7~;~ 5 - 12k),$ $k \in \Z$. \textbf{D} : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : $(x~;~y) = (- 7k~;~ 5k),~ k \in \Z$. \item On considère les deux nombres $n = \np{1789}$ et $p = \np{1789}^{\np{2005}}$. On a alors : \textbf{A} : $ n \equiv 4\quad (\text{modulo}~ 17)$ et $p \equiv 0\quad (\text{modulo}~ 17)$. \textbf{B} : $p$ est un nombre premier. \textbf{C} : $p \equiv 4\quad (\text{modulo}~17)$. \textbf{D} : $ p \equiv 1\quad (\text{modulo}~17)$. \item On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les points A et B d'affixes respectives $a$ et $b$. Le triangle $M$AB est rectangle isocèle direct d'hypoténuse [AB] si et seulement si le point $M$ d'affixe $z$ est tel que : \medskip \begin{tabular}{l l} \textbf{A} : $z = \dfrac{b - \text{i}a}{1 - \text{i}}$.&\hspace{1,5cm} \textbf{C} : $a - z =\text{i}(b - z)$.\\ \textbf{B} : $ z - a = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}(b - a)$.&\hspace{1,5cm} \textbf{D} : $b - z = \dfrac{\pi}{2}(a - z)$.\\ \end{tabular} \medskip \item On considère dans le plan orienté deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit $f$ la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ ; soit $g$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ ; soit $h$ la symétrie centrale de centre 1. \textbf{A} : $h \circ g \circ f$ transforme A en B et c'est une rotation. \textbf{B} : $h \circ g \circ f$ est la réflexion ayant pour axe la médiatrice du segment [AB]. \textbf{C} : $h \circ g \circ f$ n'est pas une similitude. \textbf{D} : $h \circ g \circ f$ est la translation de vecteur $\vect{\text{AB}}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip L'espace est muni d'un repère orthonormal \Oijk. \medskip \begin{enumerate} \item On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point B$(1~;~-2~;~1)$ et de vecteur normal $\vect{n}(-2~;~1~;~5)$ et le plan $\mathcal{R}$ d'équation cartésienne $x + 2y - 7 = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont perpendiculaires. \item Démontrer que l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ est la droite $\Delta$ passant par le point C$(-1~;~4~;~-1)$ et de vecteur directeur $\vect{u}(2~;~-1~;~1)$. \item Soit le point A$(5~;~- 2~;~-1)$. Calculer la distance du point A au plan $\mathcal{P}$, puis la distance du point A au plan $\mathcal{R}$. \item Déterminer la distance du point A à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit, pour tout nombre réel $t$, le point $M_{t}$ de coordonnées $(1 + 2t~;~3 - t~;~t)$. Déterminer en fonction de $t$ la longueur A$M_{t}$. On note $\varphi(t)$ cette longueur. On définit ainsi une fonction $\varphi$ de $\R$ dans $\R$. \item Étudier le sens de variations de la fonction $\varphi$ sur $\R$ ; préciser son minimum. \item Interpréter géométriquement la valeur de ce minimum. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On dispose d'un dé en forme de tétraèdre régulier, possédant une face bleue, deux faces rouges et une face verte ; on suppose le dé parfaitement équilibré. Une partie consiste à effectuer deux lancers successifs et indépendants de ce dé. À chaque lancer on note la couleur de la face cachée. On considère les évènements suivants : E est l'évènement \og à l'issue d'une partie, les deux faces notées sont vertes \fg, F est l'évènement \og à l'issue d une partie, les deux faces notées sont de la même couleur \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités des évènements E et F ainsi que la probabilité de E sachant F. \item On effectue dix parties identiques et indépendantes. Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux fois l'évènement F au cours de ces dix parties (on en donnera une valeur approchée décimale à $10^{-3}$ près). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On souhaite savoir si le dé utilisé peut être considéré comme parfaitement équilibré. Pour cela on numérote de 1 à 4 les quatre faces de ce dé, puis on lance, ce dé 160~fois en notant le nombre $n_{i}$ de fois où chaque face est cachée ; on obtient les résultats suivants : \[\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline face $i$ &1 & 2 & 3 & 4\\ \hline effectif $n_{i}$ &30 & 48 &46 & 32\\ \hline \end{tabularx}\] On note $f_{i}$ la fréquence relative à la face $n_{i}$ et $d_{\text{obs}}^2$ le réel $\displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(f_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$. On simule ensuite \np{1000} fois l'expérience consistant à tirer un chiffre au hasard 160 fois parmi l'ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4) puis, pour chaque simulation, on calcule $d^2 = \displaystyle\sum_{i = 1}^4 \left(F_{i} - \dfrac{1}{4}\right) ^2$, où $F_{i}$ est la fréquence d'apparition du nombre $i$. Le $9\up{e}$ décile de la série statistique des \np{1000} valeurs de $d^2$ est égal à \np{0,0098}. Au vu de l'expérience réalisée et au risque de 10\,\%, peut-on considérer le dé comme parfaitement équilibré ? \end{document}