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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Métropole \& La Réunion}}
\rfoot{\small septembre 2008}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 
\& La Réunion septembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune.

La roue A comporte 18~cases noires et 2~cases rouges.

La roue B comporte 16~cases noires et 4~cases rouges.

Lors du lancer d'une roue toutes les cases ont la même probabilité d'être obtenues.

La règle du jeu est la suivante :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Le joueur mise 1~\euro{} et lance la roue A.
\item[$\bullet~$] S'il obtient une case rouge, alors il lance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
\item[$\bullet~$] S'il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la partie s'arrête.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

\item Soient $E$ et $F$ les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $E$ : \og à l'issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges \fg{} ;
\item[] $F$ : \og à l'issue de la partie, une seule des deux cases est rouge \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que $p(E) = 0,02$ et $p(F) =  0,17$.

\item Si les 2~cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10~\euro{}; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2~\euro ; sinon il ne reçoit rien.

$X$ désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel le joueur mise 1~\euro).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate}
\item Le joueur décide de jouer $n$ parties consécutives et indépendantes ($n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2)
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la probabilité $p_{n}$ qu'il lance au moins une fois la roue B est telle que 

$p_{n} = 1 - (0,9)^n$.
		\item  Justifier que la suite de terme général $p_{n}$ est convergente et préciser sa limite.
		\item  Quelle est la plus petite valeur de l'entier $n$ pour laquelle $p_{n} > 0,9$ ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On se propose de déterminer toutes les fonctions $f$ définies et dérivables sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ vérifiant l'équation différentielle 

\[(E)\:\: : \qquad  xf'(x)- (2x + 1)f(x) = 8x^2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $f$ est solution de $(E)$ alors la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$ est solution de l'équation différentielle $(E')~~: \quad y' = 2y + 8$.
		\item Démontrer que si $h$ est solution de $(E')$ alors la fonction $f$ définie par $f(x) =  x h(x)$ est solution de $(E)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre $(E')$ et en déduire toutes les solutions de $(E)$,

\item Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'équation différentielle $(E)$ dont la représentation graphique dans un repère donné passe par le point A$(\ln 2~;~0)$ ? Si oui la préciser.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}

Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le milieu de [AI].

\medskip

\begin{enumerate}
\item C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1) lorsque :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$m = -2$& \textbf{b.}~~$m = 2$& \textbf{c.}~~$m = -1$& \textbf{d.}~~$m = 3$\\
\end{tabularx}

\item
	\begin{enumerate}
		\item B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$
		\item Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.
		\item J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$.
 	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$  est :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice de [AC].
		\item le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item la médiatrice de [AI].
		\item le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que :
		\[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\] est :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice de [AC].
		\item le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item la médiatrice de [AI].
		\item le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la suite numérique $\left(J_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par

\[J_{n} = \int_{1}^n  \text{e}^{-t}\sqrt{1 + t}\:\text{d}t.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(J_{n}\right)$ est croissante.

\item  \emph{Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n'aboutit pas.}

On définit la suite $\left(I_{n}\right)$, pour tout entier naturel $n$ non nul, par :

\[ I_{n} = \int_{1}^n (t + 1)\text{e}^{-t}\:\text{d}t.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout $t \geqslant  1$, on a $\sqrt{t + 1} \leqslant  t + 1$.
		\item En déduire que $J_{n} \leqslant I_{n}$.
		\item Calculer $I_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que la suite $\left(J_{n}\right)$ est majorée par un nombre réel (indépendant de $n$).
		\item  Que peut-on en conclure pour la suite $\left(J_{n}\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On réalisera une figure en prenant 2~cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère les points A, B et I d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1,~z_{\text{B}} = 5$ et $z_{\text{I}} =  3 + \text{i}$.

On note ($\mathcal{C}$) le cercle de centre O et de rayon $1$, ($\Delta$) la médiatrice de [AB] et (T) la tangente au cercle ($\mathcal{C}$) en A.

À tout point $M$ d'affixe $z$, différent de A, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - 5}{z - 1}.\]

Le point $M'$ est appelé l'image de $M$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer sous forme algébrique l'affixe du point I$'$ image de I.

Vérifier que I$'$ appartient à ($\mathcal{C}$).

\medskip

\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a : O$M' = \dfrac{M\text{B}}{M\text{A}}$.
		\item  Justifier que pour tout point $M$ distinct de A et B, on a :
		$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}M'}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

Dans la suite de l'exercice, $M$ désigne un point quelconque de ($\Delta$). On cherche à construire géométriquement son image $M'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $M'$ appartient à ($\mathcal{C}$).

\item On note ($d$) la droite symétrique de la droite (A$M$) par rapport à la tangente (T). ($d$) recoupe ($\mathcal{C}$) en $N$.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que les triangles A$M$B et AO$N$ sont isocèles.

Après avoir justifié que $\left(\vect{\text{AO}},~\vect{\text{A}N}\right) = \left(\vect{\text{A}M},~\vect{\text{AB}}\right)$ démontrer que 

$\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{O}N}\right) = \left(\vect{M\text{A}},~\vect{M\text{B}}\right)$.
		\item  En déduire une construction de $M'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.

On réalisera une figure en prenant 4~cm comme unité graphique sur chaque axe.

On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$k$ est un réel strictement positif ; $f$ est la similitude directe de centre O de rapport $k$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.

On note A$_{0}$ = A et pour tout entier naturel $n,~A_{n+1} = f\left(A_{n}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étant donné un point $M$ d'affixe $z$, déterminer en fonction de $z$ l'affixe $z'$ du point $M'$ image de $M$ par $f$.
		\item  Construire les points A$_{0}$, A$_{1}$,~A$_{2}$ et A$_{3}$ dans le cas particulier où $k$ est égal à $\dfrac{1}{2}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, l'affixe $z_{n}$ du point $A_{n}$ est égale à $k^n \text{e}^{\frac{\text{i}n\pi}{3}}$.
		\item  En déduire les valeurs de $n$ pour lesquelles le point $A_{n}$ appartient à la demi droite $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$ et, dans ce cas, déterminer en fonction de $k$ et de $n$ l'abscisse de $A_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\emph{Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\bigskip

Désormais, $k$ désigne un entier naturel non nul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner la décomposition en facteurs premiers de 2008.

\item Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel $k$ pour laquelle $k^6$ est un multiple de 2008.

\item  Pour quelles valeurs des entiers $n$ et $k$ le point $A_{n}$ appartient-il à la demi droite $\left[\text{O}~;~\vect{u}\right)$ avec pour abscisse un nombre entier multiple de 2008 ?
\end{enumerate}
\end{document}