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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2025}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 18 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Dans cet exercice on s'intéresse à des personnes venues séjourner dans un centre multisports au cours du week-end.

Les résultats des probabilités demandées seront arrondis au millième si nécessaire.

\bigskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Le centre propose aux personnes venues pour un week-end une formule d'initiation
au roller composée de deux séances de cours.

On choisit au hasard une personne parmi celles ayant souscrit à cette formule.

\medskip

On désigne par $A$ et $B$ les évènements suivants :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $A$ : \og La personne chute pendant la première séance\fg ;
\item $B$ : \og La personne chute pendant la deuxième séance \fg.
\end{itemize}

Pour un évènement $E$ quelconque, on note $P(E)$ sa probabilité et $\overline{E}$ son évènement contraire.

Des observations permettent d'admettre que $P(A) = 0,6$.

De plus on constate que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Si la personne chute pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,3$ ;
\item Si la personne ne chute pas pendant la première séance, la probabilité qu'elle chute pendant la deuxième est de $0,4$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité $P \left (\overline{A} \cap \overline{B} \right )$ et interpréter le résultat.
\item Montrer que $P(B) = 0,34$.
\item La personne ne chute pas pendant la deuxième séance de cours.

Calculer la probabilité qu'elle n'ait pas chuté lors de la première séance.
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, associe le nombre d'entre elles n'ayant chuté ni lors de la première ni lors de la deuxième séance.

On assimile le choix d'un échantillon de 100 personnes à un tirage avec remise.

On admet que la probabilité qu'une personne ne chute ni lors de la première ni lors de la deuxième séance est de $0,24$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Quelle est la probabilité d'avoir, dans un échantillon de $100$ personnes ayant souscrit à la formule, au moins $20$ personnes qui ne chutent ni lors de la première ni lors de la deuxième séance ?
		\item Calculer l'espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On choisit au hasard une personne venue  un week-end au centre multisport. On note $T_1$ la variable  aléatoire donnant son temps d'attente total en minute avant les accès aux activités sportives pendant la journée du samedi et $T_2$ la variable aléatoire donnant son temps d'attente total en minutes avant les accès aux activités sportives pendant la journée du dimanche.

On admet que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $T_1$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_1) = 40$ et d'écart-type $\sigma(T_1) = 10$ ;
\item $T_2$ suit une loi de probabilité d'espérance $E(T_2) = 60$ et d'écart-type $\sigma(T_2) = 16$ ;
\item  les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes.
\end{itemize}

\medskip

On note $T$ la variable aléatoire donnant le temps total d'attente avant les accès au activités sportives lors des deux jours, exprimé en minute. Ainsi on a $T = T_1 + T_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice,
\item Montrer que la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à 356.
\item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que, pour une personne
choisie au hasard parmi celles venues un week-end au centre multisports, la probabilité que son temps total d'attente $T$ soit strictement compris entre $60$ et $140$ minutes est supérieure à $0,77$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item les points A$(-1~;~2~;~1)$, \:B$(1~;~-1~;~2)$ et C(1~;~1~;~1) ;
\item la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par:

\[d : \:\: \left\{\begin{array}{l c l}
x& =& \frac 32 + 2t\\
y&=&2 +t\\
z&=&3 - t 
\end{array}\right. \:\text{avec}\: t \in\R ;\]
\item la droite $d'$ dont une représentation paramétrique est donnée par :

\[d : \:\: \left\{\begin{array}{l c l}
x& =&\phantom{3 - 2}s\\
y&=&\frac 32 + s\\
z&=&3 - 2s 
\end{array}\right. \:\text{avec}\: s \in\R ;\]
\end{itemize}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites $d$ et $d'$ sont sécantes au point S$\left(- \frac 12~;~1~;~4\right)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix} 1\\2\\4\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC) 
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est:

\[x + 2y + 4z - 7 = 0.\]
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point H$(-1~;~0~;~2)$ est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC)
		\item En déduire qu'il n'existe aucun point $M$ du plan (ABC) tel que S$M < \dfrac{\sqrt{21}}{2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On considère un point $M$ appartenant au segment [CS]. On a donc $\vect{\text{C}M} = k\vect{\text{CS}}$ avec  $k$ réel de l'intervalle [0~;~1].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées du point $M$ en fonction de $k$.
\item Existe-t-il un point $M$ sur le segment [CS] tel que le triangle ($M$AB) soit rectangle
en $M$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\
Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $(u_n)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par
\[u_n = \dfrac{1 + 5^n}{2 +3^n}.\]

\textbf{Affirmation 1 :} La suite $(u_n)$ converge vers $\dfrac 53$.
\item On considère la suite $(w_n)$ définie par:

\begin{center}$w_0 = 0$\: et, pour tout entier naturel\: $n, w_{n+1} = 3w_n - 2n + 3$.\end{center}

\textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n,\: w_n \geqslant n$.
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée dans un repère orthonormé sur la figure (Fig. 1) en page suivante.

On précise que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $T$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 8 ;
\item L'axe des abscisses est la tangente horizontale à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.
\end{itemize}
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(12,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=15,Dy=15]{->}(0,0)(0,0)(12,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(12,8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{12}{x 0.0195 exp 1 sub 50 mul x ln  mul}
\uput[dr](11,5.6){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[ul](11,6){$T$}
\uput[u](8,4.3026){A}\psdot(8,4.3026)
\psline(-0.3,0)(8,4.3026)(16.3,8.6052)
\rput(6,-0.5){\emph{Fig. 1}}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0) {O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\textbf{Affirmation 3 :} D'après le graphique, la fonction $f$ est convexe sur son ensemble
de définition.

\item  \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout réel $x > 0,\quad \ln (x) - x + 1 \leqslant 0$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de l'arrêt d'un chariot sur un manège, à partir du
moment où il entre dans la zone de freinage en fin de parcours.

On note $t$ le temps écoulé, exprimé en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage, exprimée en mètre, en fonction de $t$, à l'aide d'une fonction notée $d$ définie sur $[0 ~;~+\infty[$.

On a ainsi $d(0) = 0$.

Par ailleurs, on admet que cette fonction $d$ est dérivable sur son ensemble de
définition. On note $d'$ sa fonction dérivée.

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Sur la figure (Fig. 2) ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_d$ de la fonction $d$ ;
\item la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_d$ au point A d'abscisse 4,7 ;
\item l'asymptote $\Delta$ à $\mathcal{C}_d$ en $+\infty$.
\end{itemize}

\begin{center}
\psset{unit=0.4cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-2)(17,24)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(17,24)
\rput(8.25,-2){$Fig. 2$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{205 9 div 5 3 div x mul 205 9 div add 2.71828 0.6 x mul exp div sub}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(17,24)
\uput[ul](4.7,21){A}\uput[d](16,0){$t$}\uput[ul](7,23){$T$}
\psline(0,16.4)(8,24.3)\psdot(4.7,21)\uput[d](16,22.7){\blue $\mathcal{C}_d$}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dashed](0,22.778)(17,22.778)\uput[u](2,22.778){$\Delta$}
\end{pspicture}
\end{center}


\emph{Dans cette partie, aucune justification n'est attendue.}

\medskip

Avec la précision que permet le graphique, répondre aux questions ci-dessous.

D'après ce modèle :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Au bout de combien de temps le chariot aura-t-il parcouru $15$~m dans la zone de freinage ?
\item Quelle longueur minimale doit-être prévue pour la zone de freinage ?
\item Que vaut $d'(4,7)$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On rappelle que $t$ désigne le temps écoulé, en seconde, à partir du moment où le chariot arrive sur la zone de freinage.

On modélise la vitesse instantanée du chariot, en mètre par seconde $\left(\text{m}.\text{s}^{-1}\right)$, en fonction de $t$, par une fonction $v$ définie sur $[0~;~+\infty[$.

On admet que :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item la fonction $v$ est dérivable sur son ensemble de définition, et on note $v'$ sa
fonction dérivée ;
\item la fonction $v$ est une solution de l'équation différentielle 
\[(E) :\quad y' + 0,6y = \e^{-0,6t},\]

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

On précise de plus que, lors de son arrivée sur la zone de freinage, la vitesse du chariot est égale à $12$ m.s$^{-1}$, c'est-à-dire $v(0) = 12$.

\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'équation différentielle 
		\[(E') :\quad y' + 0,6y = 0.\]
		
Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E')$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = t\e^{-0,6t}$.
		
Vérifier que la fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item En déduire que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a :
\[v(t) = (12+t)\e^{-0,6t}.\]
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie la fonction $v$ sur $[0~;~+\infty[$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t \in [0~;~ +\infty[,\: v'(t) = (-6,2 - 0,6t)\e^{-0,6t}$.
		\item En admettant que:
		
\[v(t) = 12\e^{-0,6t} + \dfrac{1}{0,6} \times  \dfrac{0,6t}{\e^{0,6t}},\]
déterminer la limite de $v$ en $+\infty$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $v$ et dresser son tableau de
variation complet. Justifier.
		\item Montrer que l'équation $v(t) = 1$ admet une solution unique $\alpha$, dont on
donnera une valeur approchée au dixième.
	\end{enumerate}
\item Lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde, un système mécanique se déclenche permettant son arrêt complet.

Déterminer au bout de combien de temps ce système entre en action. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C} \end{center}

On rappelle que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

\[v(t) = (12 + t)\e^{-0,6t}.\]

On admet que pour tout réel $t$ dans l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ :

\[d(t) = \displaystyle\int_0^t v(x)\:\text{d}x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que la distance parcourue par le
chariot entre les instants 0 et $t$ est donnée par : 

\[d(t)= \e^{-0,6t} \left(- \dfrac53 t - \dfrac{205}{9}\right) + \dfrac{205}{9}.\]

\item On rappelle que le dispositif d'arrêt se déclenche lorsque la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 1 mètre par seconde.

Déterminer, selon ce modèle, une valeur approchée au centième de la distance parcourue par le chariot dans la zone de freinage avant le déclenchement de ce dispositif.
\end{enumerate}
\end{document}