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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Terminale ES}
\lfoot{\small Métropole groupe II bis}
\rfoot{\small juin 1997}
\vspace{0,5cm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\textbf{\large TES Baccalauréat Métropole groupe II bis  juin 1997}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le taux de départ en vacances des Français de 1965 à 1993 : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x_{i}$	&1965 	&1975 	&1980 	&1985 	&1990 	&1992 	&1993\\ \hline
Taux $t_{i}$	& 41	& 52,5 	&57,2	&57,5 	&59,1 	&60 	&60,9\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize\textsc{SOURCE : INSEE}, \emph{Tableaux de l'économie française 1994-1995}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{N. B . -} \emph{Aucun détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est demandé dans cet exercice.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~t_{i}\right)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal :
		
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item sur l'axe des abscisses on placera 1965 à l'origine et on choisira 0,5~cm pour unité ; 
\item sur l'axe des ordonnées on placera 40 à l'origine et on choisira 1~cm pour unité.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G associé à cette série double et placer ce point sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $t$. Peut-on envisager un ajustement affine ? 
		\item Déterminer une équation de la droite de régression $D$ de $t$ en $x$ par la méthode des moindres carrés : on prendra les valeurs approchées à deux décimales par excès pour les coefficients. 
		\item Tracer la droite $D$ sur le graphique de la question 1. a.
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, donner une estimation du taux de départ en vacances de Français en l'an 2000.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire) \hfill 4 points}

\medskip

Dans une usine d'automobiles, trois chaînes \og a \fg{}, \og b \fg{} et \og c \fg{} fournissent respectivement 25\,\%, 35\,\% et 40\,\% de la production de moteurs.
 
Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes :
 
5\,\% pour la chaîne \og a \fg{} ;

4\,\% pour la chaîne \og b\fg{} ; 
 
1\,\% pour la chaîne \og c \fg.
 
On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le moteur est issu de la chaîne  "a" \fg{} ; 
\item[ ] $B$ : \og le moteur est issu de la chaîne  "b" \fg{} ; 
\item[ ] $C$ : \og le moteur est issu de la chaîne  "c" \fg{} ; 
\item[ ] $D$ : \og le moteur est défectueux \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On notera $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ et $p(F/F)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.
 
Les résultats des calculs seront donnés à $10^{-4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé en utilisant le vocabulaire des probabilités. 
\item Montrer que $p(D) = \np{0,0305}$. 
\item Quelle est la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne \og a \fg{} sachant qu'il est défectueux ? 
\item Calculer la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne \og c \fg{} sachant qu'il n'est pas défectueux. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité) \hfill 4 points}

\medskip  

Le gérant d'un hôtel souhaite renouveler le linge de toilette de son établissement. Il a besoin de $90$ draps de bain, $240$ serviettes et $240$ gants de toilette.
 
Une première entreprise de vente lui propose un lot A comprenant 2 draps de bain, 4 serviettes et 8 gants de toilette pour $200$~F. 

Une deuxième entreprise vend pour 400~F un lot B de 3 draps de bain, 12 serviettes et 6 gants de toilette.
 
Pour répondre à ses besoins, le gérant achète $x$ lots A et $y$ lots B.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Traduire par un système d'inéquations les contraintes auxquelles satisfont $x$ et $y$. 
\item On considère un plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormé \Oij. À 
tout couple $(x~;~y)$ on associe le point $M$ de $\mathcal{P}$ de coordonnées $x$ et $y$, en convenant que 2~cm représentent 5~lots sur chaque axe, soit 4~mm par lot. 

Représenter dans $\mathcal{P}$ l'ensemble G des points $M(x~;~y)$ satisfaisant aux 
inéquations : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x \geqslant 0	& \text{et}	& y \geqslant 0\\ 
2x + 3y 		&\geqslant	& 90\\ 
x + 3y 			&\geqslant	& 60\\ 
4x + 3y 		&\geqslant	& 120\\
\end{array}\right.\]
 
On hachurera la partie du plan formée des points pour lesquels le contraintes ne sont pas vérifiées. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $x$ et de $y$ la dépense en francs occasionnée par l'achat de $x$ lots A et de $y$ lots B. 
		\item Est-il possible de procéder aux achats nécessaires avec \np{5000}~F? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer graphiquement, en précisant la démarche choisie, le nombres de lots A et B à acheter pour avoir une dépense minimale. 

Quelle est cette dépense minimale ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip
 
Ce problème est consacré à l'étude d'une fonction (partie A) et au calcul d'une intégrale (partie B).

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie dans $\R$ par :

\[f(x) = \left(2x^2 + 3x - 3\right)\text{e}^{- x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} - unités graphiques : 2~cm sur l'axe des abscisses, 1~cm 
ur l'axe des ordonnées.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la limite de $f$ en $- \infty$ ? 
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ : on rappelle que pour tout nombre réel $\alpha$ positif on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^{\alpha}\text{e}^{- x} = 0$.  

Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ?
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f^{\prime}(x)$, où $f^{\prime}$ désigne la fonction dérivée de $f$.

étudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera pour $f(x)$ des valeurs décimales approchées à $10^{-1}$ près).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}{>{\small}c|}*{7}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2,3$	&$-2,2$&$-2,1$ &$-2$ 	&$-1,5$		&$-1$	&$-0,5$& 0	&1 &2 	&4 	& 6\\ \hline 
$f(x)$	&6,8	&	   & $-3,9$&		&$-13,4 $	&		&$-6,6$&	&0,7&	&	& 0,2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. Donner une interprétation graphique du résultat. 
\item Tracer la partie de la courbe composée des points d'abscisse comprise entre $- 2,3$ et $6$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $F$ la fonction définie dans $\R$ par : 

\[F(x) = \left(- 2x^2 - 7x - 4\right)\text{e}^{- x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ dans $\R$. 
\item Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{- 1}^0 [- f(x)]\:\text{d}x$.

Quelle est l'interprétation graphique de ce résultat ? 
\end{enumerate}
\end{document}