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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Terminale ES}
\lfoot{\small Métropole}
\rfoot{\small juin 1997}
\vspace{0,5cm}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\textbf{\large TES Baccalauréat Métropole groupe I bis  juin 1997}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Le tableau suivant donne le total des prestations sociales reçues par les ménages en France de 1988 à 1992 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 							&1988 	&1989 	&1990 	&1991 	&1992\\ \hline 
Rang $x_i$, de l'année 			& 0 	&1 		&2		&3		&4\\ \hline
Total des prestations en
 milliards de francs : $y_i$&\np{1338}&\np{1415}&\np{1505}&\np{1606}&\np{1700}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{\small{SOURCE : INSEE, Tableaux de l'économie française 1993-
1994.}}}
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{N.B.} - \textit{Aucun détail des calculs statistiques, à 
effectuer à la machine, n'est demandé dans cet exercice.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ : le plan est rapporté à un repère orthogonal. 

Les unités graphiques sont :

 2~cm par année sur l'axe des abscisses, 1~cm pour 100 milliards de francs sur
 l'axe des ordonnées, en commençant la graduation à \np{1000}~milliards. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer à $10^{-3}$ près par
 excès, le coefficient de corrélation linéaire de la série $\left(x_i;~y_i\right)$.
  
En déduire qu'un ajustement affine est justifié.
		\item Écrire une équation de la droite de régression de $y$ en $x$
 par la méthode des moindres carrés : on donnera les coefficients à
 $10^{- 1}$ près par défaut.
 
Tracer cette droite sur le graphique de la question \textbf{1)}.
		\item Estimer le total des prestations sociales reçues par les ménages
 en 1997.
 	\end{enumerate}
\item  En supposant que la tendance ainsi constatée se maintienne, à partir de quelle année le total des prestations dépassera-t-il \np{2200}~milliards ?
 \end{enumerate}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (obligatoire)\hfill 5 points}

\medskip

Un groupe industriel possède deux usines, l'usine Alpha et l'usine Bêta.

L'usine Alpha emploie 30\,\% des salariés, l'usine Bêta 70\,\%. La répartition des salaires mensuels dans les deux usines est la suivante :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Salaire mensuel $x$ en francs & Pourcentage des salariés de l'usine Alpha&  Pourcentage des salariés de l'usine Bêta\\ \hline  
$\np{4000} \leqslant s < \np{6000}$ 	&32 	&22\\ \hline
$\np{6000} \leqslant s < \np{8000}$ 	&35 	&43\\ \hline 
$\np{8000} \leqslant s < \np{14000}$ 	&22 	&23\\ \hline
$\np{14000} \leqslant s < \np{18000}$ 	&7 		&12\\ \hline
$\np{18000} \leqslant s < \np{30000}$ 	&4 		&0 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
On choisit un  au hasard parmi l'ensemble des salariés du groupe. On admet l’équiprobabilité des choix. On considère les évènements suivants :
 
\begin{itemize}
\item $E$ \og le salarié gagne au moins \np{8000}~F par mois \fg{} ;
\item $A$ \og le salarié travaille dans l'usine Alpha \fg{} ;
\item $B$ \og le salarié travaille dans l'usine Bêta \fg. 
\end{itemize}

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de $A$ puis celle de $ B$.
		\item Calculer la probabilité qu'un salarié   de l'usine Alpha gagne au moins \np{8000}~F par mois.
 
Faire le même calcul pour un salarié de l'usine Bêta.
		\item Montrer que la probabilité de $E$ est : $0,344$.
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ dont les 
valeurs et les lois de probabilités sont données dans les tableaux 
suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 						& 5 	& 7 	& 11 	& 16 	& 24\\ \hline
$P\left(X = x_i\right)$ 	& 0,32 	& 0,35 	& 0,22 	& 0,07 	& 0,04\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{0.833\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$y_i$ 					&5 		&7 		&11 	&16\\ \hline
$P\left(Y = y_i\right)$ &0,22 	&0,43 	&0,23 	&0,12\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer à $10^{-2}$ près l’espérance mathématique et l’écart type de chacune
 des variables aléatoires $X$ et $Y$. 
		\item Utiliser le résultat de a. pour comparer les salaires moyens dans les usines Alpha  et Bêta.
		 
Comment interpréter alors le résultat sur les écarts-types ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (spécialité)\hfill 5 points}

\medskip

Une entreprise dispose de deux machines, appelées machine \og $a$ \fg{} et
machine \og $b$ \fg{}, pour fabriquer le même type de pièces.

Certaines des pièces produites sont écartées comme défectueuses :

\begin{itemize}
\item pour la machine \og $a$ \fg{} la probabilité d'obtenir une pièce sans défaut est
 0,9 ;
\item pour la machine \og $b$ \fg{} cette probabilité est 0,95.
\end{itemize}
 
La machine \og $a$ \fg{} fournit les deux tiers de la production, la machine \og $b$ \fg{} le tiers restant.

On notera $p$(E) la probabilité d'un évènement $E$, $p(E/F)$ la probabilité
 de $E$ sachant que $F$ est réalisé.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit une pièce au hasard, avec équiprobabilité des choix.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements suivants :

$A$ : \og la pièce provient de la machine "$a$" \fg{} ;
 
$B$ : \og  la pièce provient de la machine "$b$" \fg.
		\item Soit $S$ l'évènement : \og la pièce est sans défaut \fg. 
		
Calculer $p(S/A)$ et $p(S/B)$. En déduire que $p(S) = \dfrac{11}{12}$. 
	\end{enumerate}
\item On considère un échantillon de 7 pièces produites par l'entreprise et on admet que le choix des 7 pièces suit une loi binomiale. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'échantillon ne comporte que des pièces sans
 défaut.
		\item Calculer la probabilité que l'échantillon comporte exactement 6
 pièces sans défaut.
		\item En déduire la probabilité d'avoir au moins 2 pièces 
défectueuses dans l'échantillon.

Les résultats de cette question \textbf{2)} seront donnés à $10^{-3}$
 près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

On considère les fonctions définies dans $\R$ par :
 
\[f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{- x} \quad\text{ et } \quad  g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2.\]

 Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ;  le point O est 
placé à 5~cm du bord gauche de la feuille, et l'unité graphique est 3~cm.

 Les courbes représentatives de $f$ et de $g$ sont appelées respectivement
 $\mathcal{C}$ et $\mathcal{P}$.
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{P}$. 
\item étude de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+~\infty$~ $\left(\text{on pourra
 écrire }\: f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^{x}} - \dfrac{2x}{\text{e}^{x}} + 
\dfrac{1}{\text{e}^{x}}\right)$.

Donner une interprétation graphique de ce résultat pour la courbe $\mathcal{C}$.
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Vérifier que :

\[f'(x) = (x - 1)(3 - x)\text{e}^{- x}.\]
 
Dresser le tableau de variation de $f$. 
		\item Tracer la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 0.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des
 points communs à $\mathcal{C}$ et à $\mathcal{P}$. 
		\item étudier le signe de $f(x) - g(x)$.
 
En donner une interprétation graphique.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur le même  graphique que $\mathcal{P}$.\\ 
\item Soit $F$ la fonction définie dans 
$\R$ par : 

\[F(x) = -~ \text{e}^{- x}(x^2 + 1).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $F$ est une primitive de $f$.
		\item Donner la valeur exacte de I = $\displaystyle\int_{0}^1 
f(x)\:\text{d}x$ puis une valeur décimale approchée à $10^{- 2}$ 
près.
 
Quelle est l'interprétation géométrique de 1. ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}