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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1959}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 1959}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Série mathématiques ~\decofourright\\[7pt]Métropole juin 1959}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{I}}

\textbf{\textsc{1\up{er} sujet}}

\medskip

Définition d'un nombre premier.

Démontrer que tout nombre entier peut être décomposé en un produit de facteurs premiers et que cette décomposition est unique (les conséquences de ce théorème ne
sont pas demandées).

\medskip

\emph{Application} : Décomposer le nombre \np{15015} en produit
de nombres premiers.

\bigskip

\textbf{\textsc{2\up{e} sujet}}

Calculer (en degrés ou en grades, au choix du candidat), avec la précision permise par les
tables de logarithmes, les angles $x$, compris entre 0 et $2\pi$, qui satisfont à l'équation

\[2,7 \cos x + 3,9 \sin x = 1,4.\]

\bigskip

\textbf{\textsc{3\up{e} sujet}} 

Produit de deux homothéties.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{II}}

Dans un plan rapporté à deux axes rectangulaires $x'\text{O}x, y'\text{O}y$, on définit les points fixes A, B, I, J, S et le point variable M par leurs coordonnées respectives :

\[\text{A}(- 3~;~0),\quad \text{B}(3~;~0),\quad \text{I}(1~;~0),\quad \text{J}(9~;~0),\quad \text{S}(0~;~h), \quad\text{M}(x~;~0),\]

où $h$ désigne une constante positive et $x$ une variable
pouvant prendre toute valeur de $- \infty$ à $+ \infty$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer en fonction de $x$ la quantité $z = \text{MA} + 2\text{MB}$
(MA et MB représentent des longueurs, donc des nombres
positifs ou nuls).

Montrer que, dans chacun des intervalles
$x < - 3,\: - 3 < x < 3,\: x > 3$, la quantité $z$
s'exprime en fonction linéaire de $x$ et vérifier que, selon
l'intervalle considéré, le rapport $\dfrac{z}{\text{MI}}$ ou le rapport $\dfrac{z}{\text{MJ}}$
reste constant.
\item Calculer la quantité $y = \dfrac{\text{MA} + 2\text{MB}}{\text{MS}}$ en fonction
de $x$ et $h$.

Dans le cas particulier $h = 3$, étudier les
variations de $y$ en fonction de $x$ et tracer le graphique
représentatif avec le plus de précision possible. On prendra pour échelle : sur l'axe $x'\text{O}x$, 1 unité = 1~centimètre ; 
sur l'axe $y'\text{O}y$, 1 unité = 3~centimètres.

Déterminer la plus grande et la plus petite valeur de $y$
quand $x$ varie de $- \infty$ à $+ \infty$.

Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $y = 3$ ?

Supposant toujours $h = 3$, comparer les valeurs
prises par $y$ en deux points M$_1$, M$_2$ divisant harmoniquement
le segment AB.

Expliquer géométriquement le résultat obtenu, d'après le choix particulier du point S.
\item Revenant au cas général ($h > 0$ quelconque),
on désigne par A$'$, B$'$, I$'$, J$'$, M$'$ les inverses respectifs
de A, B, I, J, M dans l'inversion de centre S et de puissance
$h^2$. 

Montrer que, quand $x$ varie en restant dans l'un des
intervalles $x < - 3,\: - 3 < x < 3, \:x > 3$, le rapport
$\dfrac{y}{\text{M}'\text{I}'}$ ou le rapport $\dfrac{y}{\text{M}'\text{J}'}$ selon l'intervalle considéré, reste constant.

Montrer qu'on peut ainsi déterminer sans calcul le
sens de variation de $y$ et retrouver les résultats obtenus
au \textbf{2.} pour $h = 3$.

Étant donnés un cercle C, deux points, A$'$, B$'$, de ce
cercle et un point M$'$ variable sur ce cercle, montrer que
l'étude précédente permet de déterminer la plus grande
et la plus petite valeur de M$'$A$'$ + 2 M$'$B$'$.
\end{enumerate}
\end{document}