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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{}
\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Montpellier}
\lfoot{\small septembre 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Montpellier septembre 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du périmètre et de l'aire d'un carré dont le côté mesure $\sqrt 5$~cm.
\item Calculer la valeur exacte du périmètre et de l'aire d'un carré dont le côté mesure $\left(2 + \sqrt 5\right)$ cm (on donnera les réponses sous la forme $a + b\sqrt 5$, $a$ et $b$ étant des entiers).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

On sait que $\np{999999} = \np{990000} + \np{9900} + 99$,
donc que $\np{999999} = 99 \times \np{10000} + 99 \times  100 + 99 \times 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Mettre \np{999999} sous la forme $99 \times n$, où $n$ désigne un entier naturel.
\item Mettre \np{141414} sous la forme $14 \times p$, où $p$ désigne un entier
naturel.
\item Déduire des questions précédentes que $\dfrac{\np{141414}}{\np{999999}} = \dfrac{14}{99}$.
\end{enumerate}


\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $x$ et $y$ désignant des nombres réels, résoudre le système suivant, d'inconnues $x$ et $y$ :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x + y 	&=& 50\\
3x + 4y	&=& 162.
\end{array}\right.\]

\item Des triangles et des rectangles sont dessinés sur une feuille de papier, de façon à ce qu'ils n'aient aucun sommet en commun. On compte $50$ figures et $162$ sommets. 

Déterminer le nombre de triangles et le nombre de rectangles ainsi dessinés.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 4}

\medskip

Les solides représentés ci-dessous représentent des cubes dont on a indiqué la longueur du côté.

\begin{center}
\begin{tabular}{c c c c c}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(1.75,1.75)
\psframe(0,0.5)(1.,1.5)
\psline(1,0.5)(1.5,0.75)(1.5,1.75)(1.,1.5)\rput(1.7,1.25){$+$}
\psline(1.5,1.75)(0.5,1.75)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.5,0.75)(1.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(0.5,1.75)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.25)(1,0.25)\uput[d](0.5,0.25){3}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(1.75,1.75)
\psframe(0,0.5)(1.,1.5)
\psline(1,0.5)(1.5,0.75)(1.5,1.75)(1.,1.5)\rput(1.7,1.05){$+$}
\psline(1.5,1.75)(0.5,1.75)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.5,0.75)(1.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(0.5,1.75)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.25)(1,0.25)\uput[d](0.5,0.25){4}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(1.75,1.75)
\psframe(0,0.5)(1,1.5)
\psline(1,0.5)(1.5,0.75)(1.5,1.75)(1.,1.5)\rput(1.7,0.85){$=$}
\psline(1.5,1.75)(0.5,1.75)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.5,0.75)(1.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(0.5,1.75)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.25)(1,0.25)\uput[d](0.5,0.25){5}
\end{pspicture} &
\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(1.75,1.75)
\psframe(0,0.5)(1,1.5)
\psline(1,0.5)(1.5,0.75)(1.5,1.75)(1.,1.5)
\psline(1.5,1.75)(0.5,1.75)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0.5)(0.5,0.75)(1.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.75)(0.5,1.75)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0,0.25)(1,0.25)\uput[d](0.5,0.25){6}
\end{pspicture}
\end{tabular}
\end{center}

L'égalité proposée vous semble-t-elle justifiée (expliquez votre réponse) ?

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

On désigne par R le point du segment [MN] tel que QP = QR.

MNPQ est un rectangle dans lequel QP $>$ QM.

La médiatrice $\Delta$ du segment [NP] coupe le segment [RP] en T.

(On complètera la figure ci-dessous au fur et à mesure de la résolution de l'exercice.)

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psline(0,1.5)(8,1.5)\uput[u](7.8,1.5){$\Delta$}
\psframe(2,0.2)(6,2.8)
\psline(6,0.2)(5.3,2.8)
\uput[ul](2,2.8){M} \uput[ur](6,2.8){N} \uput[dr](6,0.2){P} \uput[dl](2,0.2){Q} \uput[u](5.3,2.8){R} 
\end{pspicture}

\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point T est le milieu du segment [RP]. 

En déduire que le triangle RTN est isocèle.
\item La parallèle à la droite (RP) tracée par M coupe $\Delta$ en S. Quelle est la nature du quadrilatère MSTR ?

Démontrer que $\vect{\text{RP}} = 2\vect{\text{MS}}$.
\item La droite (SP) coupe la droite (MN) en U. 

Démontrer que M est le milieu de [UR].

Que représente la droite (QM) pour le segment [UR] ? 

En déduire que QU = QR.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

de location.

Une entreprise de location de véhicules propose deux options pour louer une camionnette.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]\textbf{Option A :} Le prix de la location est calculé en multipliant le prix par jour par le nombre de jours de location.
\item[$\bullet~~$]\textbf{Option B :} Le prix de la location est forfaitaire pour la première semaine (somme fixe pour la totalité de la première semaine), et, si le client garde la camionnette plus d'une semaine, chaque journée supplémentaire est facturée à un tarif plus avantageux que le tarif journalier de l'option A.
\end{itemize}

Les prix correspondants aux deux options sont représentés sur le graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique, donner les renseignements suivants :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Prix par jour dans l'option A.
\item[$\bullet~~$]Prix de la première semaine dans l'option B.
\item[$\bullet~~$]Prix de la journée supplémentaire dans l'option B.
\item[$\bullet~~$]Nombre de jours de location à partir duquel l'option B est moins chère que l'option A.
\item[$\bullet~~$]Écart de prix entre les deux options pour une location de 10 jours.
\end{itemize}

\item En utilisant les données graphiques et en faisant les calculs complémentaires nécessaires :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite représentant l'option A.
		\item Calculer les coordonnées du point I.
	\end{enumerate}	
\item En discutant les tarifs, un client obtient un arrangement personnel : il versera $500$~F en prenant la camionnette et chaque journée lui sera facturée $95$~F.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le prix à payer $y$ en fonction du nombre $x$ de jours de location.
		\item Représenter graphiquement (sur le graphique) cet arrangement.
		\item Pour quel nombre de jours de location cet arrangement est-il plus avantageux que l'option B ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-15)(16,2500)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(15,2500)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.25pt](11,2420)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](7,1000)(15,2200)
\psline[linestyle=dashed](0,2200)(10,2200)(10,0)
\psline[linestyle=dashed](0,1450)(10,1450)(10,0)
\psline[linestyle=dashed](0,1150)(8,1150)(8,0)
\psline[linestyle=dashed](0,1000)(7,1000)(7,0)
\psline[linestyle=dashed](0,220)(1,220)(1,0)\uput[d](15,0){$x$}
\uput[r](0,2430){$y$}
\uput[r](0,2480){Prix de la location (5 mm pour 100~F)}
\rput(12,100){Nombre de jours de location}
\rput(12,50){5 mm pour 1 jour}
\uput[ur](0,220){220}\uput[ur](0,1150){1150}\uput[ur](0,1450){1450}
\uput[dr](11,2420){$\textcircled{A}$}
\uput[dr](15,2200){$\textcircled{B}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}