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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small L'année 1989}
\rfoot{\small Nancy-Metz}
\lfoot{\small septembre 1989}
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\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Brevet Nancy-Metz septembre 1989 \decofourright}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS NUMÉRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

\emph{Les parties $1$ et $2$ sont indépendantes}

\medskip

Une glacière de camping permet de maintenir au frais des aliments et des boissons grâce à une quantité de glace qui fond peu à peu. 

La notice rédigée par le constructeur porte les graphiques représentant ce que deviennent $5$ kilogrammes de glace dans trois modèles de glacières de cette marque en fonction du temps (voir graphique).

J'ai acheté le modèle 956 TL d'une contenance de $28$ litres. 

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

Lire sur le graphique les éléments nécessaires pour compléter le tableau ci-joint, concernant le modèle 956 TL.

Les fractions représentées en première ligne du tableau sont des fractions de la masse totale de glace placée au début dans la glacière : $5$~kg.

On rappelle que : masse de glace fondue + masse de glace non fondue = 5 kg.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Partie de glace fondue			&Totalité 	&moitié	&$\dfrac15$	&$\dfrac{7}{10}$&\\ \hline
Masse de glace encore non fondue&0 			&2,5 kg	& 4 kg		&1,5 kg			&\\ \hline
Temps en heures et minutes		&			&		&8 h 30 min	&				&\\ \hline
Temps en heures décimales		&			&21,25 h&			&				&11,25 h\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

Montrer qu'une équation de la droite représentant la variation de la masse de glace $y$ en fonction du temps $x$ pour le modèle 956 TL est :

\[y = -\dfrac{1}{8,5}x  + 5.\]

(le temps $x$ est exprimé en heures décimales et la masse $y$ en kilogrammes)

\medskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

Lire sur le graphique combien il reste de glace non fondue au bout de $30$ heures pour chacun des trois modèles.

\begin{center}
\psset{xunit=0.275cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(50,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5]{->}(0,0)(0,0)(50,7)
\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,7)}
\multido{\n=0.0+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(50,\n)}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](0,5)(40,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,5)(42.5,0)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=orange](0,5)(45.5,0)
\uput[d](47,0){temps}\uput[r](0,6.75){kilogrammes de glace non fondue}
\psline[linecolor=red](27.5,5.5)(35,5.5)\uput[r](35,5.5){948 TL (24 litres)}
\psline[linecolor=blue](27.5,5)(35,5)\uput[r](35,5){956 TL (28 litres)}
\psline[linecolor=orange](27.5,4.5)(35,4.5)\uput[r](35,4.5){964 TL (24 litres)}
\uput[ur](45.5,0){\small 45 h 30 min}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Construire un parallélogramme ABCD tel que :

\begin{center}AB $= 6$~cm et AD $= 4$~cm.\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Retrouver sur cette figure les points P{}, Q, R tels que : 

\[\vect{\text{DP}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{DA}} \quad;\quad \vect{\text{CQ}} = \vect{\text{CB}} + \vect{\text{CD}} \quad;\quad \vect{\text{AR}} = \vect{\text{AC}} + \vect{\text{BA}}.\]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points E, F{}, G tels que :
		
		\[\vect{\text{EA}} + \vect{\text{EC}} = \vect{0}\]
		
F tel que AF $= \dfrac23$AB et F est un point de [AB]

et G tel que CG $= \dfrac23$CD et G est un point de [CD].

		\item En utilisant les trois égalités précédentes, calculer :

\[\vect{\text{EF}} + \vect{\text{EG}}\]

et en déduire que les points E, F et G sont alignés.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère AFCG ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\medskip

\begin{minipage}{0.56\linewidth}Une bougie décorative a la forme d'une pyramide à base carrée.

Les faces latérales sont des triangles isocèles de mêmes dimensions. Le carré a $9$ cm de côté. La hauteur SO de la pyramide est de 6 cm.

On se propose de calculer la longueur du trajet suivi par une goutte de cire coulant le long d'une arête latérale, et par une seconde goutte coulant le long de la hauteur SK d'une face.

O est le centre du carré ABCD.

AB $= 9$ cm, \: OS $= 6$~cm.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.7,-1.2)(1.7,1.6)
%\psgrid
\psline[linestyle=dashed](0.7,-1)(-0.7,1)(0.9,0.7)(-0.9,-0.7)%ACBD
\psline[linestyle=dashed](0,1.5)(0,0)%SO
\psline(0,1.5)(-0.7,1)(-0.9,-0.7)(0,1.5)(0.9,0.7)(0.7,-1)(-0.9,-0.7)%SCDSBAD
\psline(0.8,-0.15)(0,1.5)(0.7,-1)%KSA
\uput[dr](0.7,-1){A} \uput[ur](0.9,0.7){B} \uput[ul](-0.7,1){C} \uput[dl](-0.9,-0.7){D}
\uput[u](0,1.5){S} \uput[d](0,0){O} \uput[dr](0.8,-0.15){K}
\psline(0.82,0)(0.75,0.16)(0.72,0.02)
\psline(0,0.1)(0.1,0)(0.1,-0.14)
\end{pspicture}
\end{minipage}

%prisme

\begin{enumerate}
\item Calculer la distance OA.
\item En considérant le triangle rectangle SOA, calculer SA.
\item Que représente le point K pour le segment [AB] ? Calculer SK.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PROBLÈME}

\medskip

Les règles de construction d'un escalier droit imposent la relation suivante entre la hauteur $h$ de chaque marche et leur profondeur $p$ :

\[2h + p = 64\]

où $h$ et $p$ sont exprimées en cm.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(4.2,4)
%\psgrid
\psframe(0.5,0.4)(2.6,1.3)
\psline(2.6,1.3)(3.2,2)
\psline(0.5,1.3)(1.1,2)
\psframe(1.1,2.)(3.2,2.9)
\uput[d](1.55,0.4){largeur}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,0.4)(0.3,1.3)\uput[l](0.3,0.85){$h$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.3,1.3)(0.95,2.1)\uput[ul](0.6,1.6){$p$}
\psline(1.1,2.9)(1.7,3.6)(3.8,3.6)(3.2,2.9)
\psline(3.8,3.6)(3.8,2)(2.6,0.4)
\rput(2.5,3.2){dessus}
\rput(2.3,2.5){devant}
\rput(2.1,-0.3){\footnotesize Représentation en perspective de deux marches de l'escalier}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour un escalier A la hauteur d'une marche est $18$~cm. Calculer la profondeur de la marche.
		\item Pour un escalier B, la profondeur d'une marche est $34$~cm. Calculer la hauteur de cette marche.
	\end{enumerate}
\item  Monsieur Larampe veut faire construire un escalier droit, à l'extérieur de sa maison, comportant $7$ marches de mêmes dimensions ; voir dessin ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(5.8,3.6)
%\psgrid
\psline(0,0.4)(5.8,0.4)
\psline(0.6,0.4)(0.6,0.7)(1.2,0.7)(1.2,1)(1.8,1)(1.8,1.3)(2.4,1.3)(2.4,1.6)(3,1.6)(3,1.9)(3.6,1.9)
(3.6,2.2)(4.2,2.2)(4.2,2.5)(4.8,2.5)
\psline(0.6,0.4)(4.8,2.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,0.4)(0.5,0.7)\uput[l](0.5,0.55){$h$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.6,0.8)(1.2,0.8)\uput[u](0.9,0.8){$p$}
\uput[d](0.6,0.4){B} \uput[d](4.8,0.4){S}
\multido{\n=0.0+0.2}{30}{\rput(\n,0.3){/}}
\uput[d](2.4,0.3){Sol}
\multido{\n=0.4+0.2}{13}{\rput{90}(4.92,\n){/}}
\psline(4.8,0)(4.8,3)\uput[ul](4.8,2.5){C}
\psframe(4.8,0.4)(4.6,0.6)\rput(5.4,1.8){Mur}
\rput(2.9,-0.3){\footnotesize Vue de côté de l'escalier}

\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le segment [SC] mesure $1,33$~m ; calculer :
\begin{itemize}
\item la hauteur $h$ d'une marche,
\item la profondeur $p$ d'une marche,
\item la longueur du segment [BS] (on ne justifiera pas le calcul),
\item la longueur du segment [BC] à 1 cm près (on justifiera le
calcul).
\end{itemize}

		\item Calculer la tangente de l'angle $\widehat{\text{CBS}}$. 
		
En déduire une valeur approchée à $1\degres$ près de l'angle $\widehat{\text{CBS}}$.
		\item La largeur de chaque marche étant de $1,20$~m, déterminer l'aire
de la surface que Monsieur Larampe aura à nettoyer, s'il ne nettoie que le devant et le dessus de chaque marche.

Exprimer le résultat en m$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}