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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STT Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion}  
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 1998}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STT   Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[6pt]Comptabilité et gestion -- Informatique et gestion  décembre 1998}}
\medskip

\textbf{Durée : 3 heures}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne les montants (en millions de francs) de toutes les cotisations perçues par une mutuelle de 1989 à 1996.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1989	&1990	&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	& 1996\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Cotisation en millions 
de francs $y_i$			&\np{4100}&\np{4450}&\np{4650} &\np{4900} &\np{5250} &\np{5450} &\np{5900} & \np{6300}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :

sur l'axe des abscisses : 2 cm

sur l'axe des ordonnées : 1 cm pour 200 millions de francs,

en graduant à partir de \np{4000}~millions de francs.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$ associé aux quatre premières
années du tableau, puis celles du point moyen G$_2$ associé aux quatre dernières
années. ~
		\item Déterminer une équation de la droite d'ajustement $\left(\text{G}_1\text{G}_2\right)$ et la tracer.
	\end{enumerate}
\item Déduire de la question précédente une estimation du montant des cotisations en 1997, au million de francs près.
\item À partir de quelle année le montant des cotisations dépassera-t-il \np{7200}~millions de francs ? Justifier le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher :

1 boule verte valant 1 point,

2 boules bleues valant chacune 2 points,

2 boules rouges valant chacune 3 points.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une boule dans l'urne.

Calculer la probabilité des évènements :

$A$ : \og obtenir une boule bleue \fg,

$B$ : \og obtenir un point \fg,

$C$ : \og obtenir au moins deux points \fg.
\item On tire successivement sans remise 2 boules dans l'urne.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de tirages différents possibles à l'aide d'un tableau ou d'un arbre.
		\item Calculer la probabilité des évènements :
		
$D$ : \og obtenir deux boules de la même couleur \fg,

$E$ : \og obtenir quatre points \fg,

$F$ : \og obtenir quatre points avec deux boules de couleurs différentes \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit le polynôme $P(X) = (X - 3)^2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Développer $P(X)$.
\item  En déduire:
	\begin{enumerate}
		\item la résolution dans $\R$ de $\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9 = 0$.
		\item le signe de $\text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = 6 - \text{e}^x\]

et $g$ la fonction définie sur $\R$ par

\[g(x) = 9\text{e}^{- x}.\]

On note $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ les courbes représentatives de $f$ et $g$ dans un repère
orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

La courbe $\left(C_f\right)$ est donnée ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $- \infty$. 
		\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$. En déduire que $\left(C_g\right)$ admet une asymptote.
		\item Calculer $g’(x)$ où $g’$ désigne la dérivée de $g$. Étudier le signe de $g’(x)$ et dresser le tableau de variations de $g$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x,\: g(x) - f(x) = \text{e}^{2x} - 6\text{e}^x + 9$.
		\item À l'aide de la partie A, démontrer que les courbes $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ se coupent
au point I de coordonnées $(\ln 3~;~3)$.
		\item À l'aide de la partie A, déterminer la position relative de $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer qu'au point I les deux courbes $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ ont la même tangente $(T)$.
\item Tracer la droite $(T)$ ainsi que $\left(C_g\right)$ sur la feuille annexe contenant déjà la courbe $\left(C_f\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		\item Déterminer la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_g\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		\item En déduire la valeur exacte en cm$^2$ de l'aire de la partie du plan limitée par $\left(C_f\right)$ et $\left(C_g\right)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 3$.
		
Donner une valeur approchée de cette aire à $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe}
\bigskip

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2.75,-3)(2.5,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-2.75,-3)(2.5,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{2.5}{6 2.71828 x exp sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[u](-2,6){\blue $\left(C_f\right)$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}