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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat A1 et B}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small  novembre 1994}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat A1 et B Nouvelle-Calédonie ~\decofourright\\novembre 1994}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, on donnera tous les résultats sous forme de fractions irréductibles.
 
Le coffre de jouets d'un enfant contient : 

- 7 balles : 2 rouges, 3 bleues et 2 vertes;
 
- 18 cubes : 7 rouges, 10 bleus et 1 jaune;
 
- 5 voitures : 1 rouge, 1 bleue, 2 vertes et 1 jaune. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, l'enfant tire au hasard un objet du coffre. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les probabilités des évènements suivants :
		 
A : l'enfant a tiré une balle.
 
B : l'enfant a tiré un objet rouge. 
		\item Déterminer la probabilité pour que l'enfant ait tiré un objet bleu, sachant qu'il a tiré un cube. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, l'enfant choisit au hasard, simultanément, deux objets dans le coffre. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement suivant:
		 
\og Il y a au moins un cube parmi les deux objets choisis.\fg 
		\item Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de cubes tirés du coffre. 
		
Déterminer la loi de probabilité de X, et son espérance mathématique.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 Série B} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{N. B.} : \emph{Le détail des calculs intermédiaires nécessaires à l'obtention des résultats n'est pas exigé.}

\medskip

Le tableau suivant indique la cote de la voiture FORD \og Fiesta 1,1 Fun \fg{} suivant le nombre d'années écoulées depuis la date de mise en circulation.
 
$x$ désigne le nombre d'années écoulées depuis la date de mise en circulation 
(âge de la voiture).
 
$y$ désigne la cote de la voiture en millier.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_i$ (en année)				&1	&2		&3		&4		&5\\ \hline
$y_i$ (en milliers de francs)	&43	&33,6	&24,75	&19,7	&14,7\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement cette série statistique par un nuage de points.

En abscisse : 2,5~cm représentent 1~an.
 
En ordonnée : 1~cm représente 2~milliers de francs. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$. On rappelle que :
		 
la droite de régression de $y$ en $x$ a pour équation : 
	-  
\[y - \overline{y} = \dfrac{\text{cov}\: (x, y)}{\sigma_x^2} \left(x 	- \overline{x}\right).\] 
 
		\item Tracer cette droite sur le graphique. 
		\item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ ? En donner une valeur décimale approchée à $10^{-3}$ près. 
		\item En utilisant le résultat obtenu en 2. a. donner une estimation de la cote $y$ d'une voiture de 6 ans. 
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer un nouvel ajustement de ce nuage de points.

On pose $z_i = \ln y_i$.
 
Pour tous les résultats, on donnera une valeur décimale approchée à $10^{- 3}$ près.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les $z_i $ et dresser le tableau de valeurs de la série double $\left(x_i~;~z_i\right)_{1 \leqslant  i \leqslant 5}$. 
		\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$. 
		\item Quel est le coefficient de corrélation linéaire entre $z$ et $x$ ? 
		\item À partir de la relation entre $z$ et $x$ obtenue en 3. b. et de l'égalité $z = \ln y$, donner une nouvelle estimation de la cote $y$ d'une voiture de 6 ans.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : 
 
\[f(x) = \ln \left(\dfrac{x + 4}{2 -x}\right) \]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
 
On note $(C)$ la représentation graphique de $f$ dans le plan muni d'un repère 
orthonormé \Oij{} (unité graphique :  2~cm). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $- 4$ puis quand $x$ tend vers $2$.

$(C)$ admet-elle des asymptotes ? Si oui, préciser leurs équations. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)$ est strictement positif pour tout réel $x$ de l'intervalle $]- 4~;~2[$. 
		\item En déduire le tableau de variation de $f$. 	
	\end{enumerate}
\item Calculer une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près de $f(x)$ pour les valeurs suivantes de $x$ : $- 3 \:;\: - 2 \:;\: -1 \:;\: 0\:;\: 1$. 
\item Tracer soigneusement la courbe $(C)$ ainsi que ses asymptotes. 
\item Calculer l'abscisse du point A de $(C)$ d'ordonnée 1. En donner une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]- 4~;~2[$ par : 

\[g(x) = (x + 4) \ln (x + 4) + (2 - x) \ln (2 - x).\]
 
Montrer que $g'(x) = f(x)$.
 
Calculer l'aire exacte, en cm$^2$, au domaine limité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = - 1$ et l'axe des ordonnées. 
\end{enumerate}
\end{document}