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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2001}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt] mars 2001}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 9}\right).\]

et ($\mathcal{C}$) sa représentation graphique relative à un repère orthonormal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les images de 0 et de 4 par $f$, puis l'antécédent de 0 par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f$ en +~$\infty$.
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, $\sqrt{x^2 + 9} + x = \dfrac{9}{\sqrt{x^2 + 9} - x}$	et en déduire la limite de $f$ en $- \infty$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel, $f'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 
9}}$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\item On considère la fonction $g$ définie, pour tout $x$ réel, par

\[g(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^x  - \dfrac{9}{2} \text{e}^{-x}\]
et ($\mathcal{C}'$) sa représentation graphique dans le même repère \Oij.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ réel, $(g \circ f)(x) = x$.

On admettra de même que, pour tout $x$ réel, $(f \circ g) (x) = x$.
		\item En déduire que le point $M (x~;~y)$ appartient à ($\mathcal{C}$)
 si, et seulement si, le point $M'(y~;~x)$ appartient à ($\mathcal{C}'$).
		\item Démontrer que la fonction $g$ est négative sur $[0~;~\ln 3]$.
	\end{enumerate}
\item Soit $D_1$ et $D_2$ les domaines définis par :

\[D_1 = \left\{M (x~;~y)\left| \begin{array}{l}
0 \leqslant x \leqslant \ln 3\\
g(x) \leqslant y \leqslant 0\\
\end{array}\right. \right\}\quad  ; \quad  D_2 = \left\{M (x~;~y)\left|
\begin{array}{l}
-~4 \leqslant x \leqslant 0\\
0 \leqslant y \leqslant f(x)\\
\end{array}\right. \right\}.\]

Les domaines $D_1$ et $D_2$ ont la même aire, calculer cette valeur commune en unités d'aire.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk, on
 considère les points A (1~;~2~;~2), B (3~;~2~;~1) et C (1~;~3~;~3).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que les points A, B et C déterminent un plan. Donner une
 équation de ce plan.
\item On considère les plans (P$_1$) et (P$_2$) d'équations 
respectives :

(P$_1$)~:~$x - 2y + 2z - 1 = 0$~;~(P$_2)~:~x - 3y + 2z + 2 = 0$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les plans (P$_1$) et (P$_2$) sont sécants. On notera
 ($\Delta$) leur droite d'intersection.
		\item Montrer que le point C appartient à la droite ($\Delta$).
		\item Démontrer que le vecteur $\vect{u}(2~;~0~;~- 1)$ est un
 vecteur directeur de la droite ($\Delta$).
		\item En déduire une représentation paramétrique de la droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\item Pour déterminer la distance du point A à la droite ($\Delta$) de
 représentation paramétrique :
 
\[\left\{ \begin{array}{l c r}
x  &=& 2k + 1\\
y  &=& 3 \\
z &=& -  k + 3\\
\end{array}\right. \qquad (k \in \R),\] 

on considère le point $M$ de paramètre $k$ de la droite ($\Delta$).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $k$ pour que les vecteurs 
$\vect{\text{A}M}$ et $\vect{u}$ soient orthogonaux.
		\item En déduire la distance du point A à la droite ($\Delta$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice, $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls
 vérifiant $x < y$.

S est l'ensemble des couples $(x~;~y)$ tels que P.G.C.D. $(x~;~y) = y - 
x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le P.G.C.D. (363~;~484).
		\item Le couple (363~;~484) appartient-il à S ?
	 \end{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n~;~n + 1)$
 appartient-il à S ? Justifier votre réponse. 
\item   
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(x~;~y)$ appartient à S si, et seulement si, il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y - x)$ et $y = (k + 1) (y - x)$.
		\item En déduire que, pour tout couple $(x~;~ y)$ de S, on a :
		
P. P. C. M. $(x~;~y) = k(k + 1) (y - x)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
		\item En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ de S tels que 
		P.P.C.M. $(x~;~y)$ = 228.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Il est possible que certains des résultats, à démontrer dans ce problème, ne soient pas lisibles sur l'écran de votre calculatrice graphique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

$\star$ \textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~1[ \cup  ]1~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{10 (x - 8)}{x(x - 1)}\]

et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative relative à un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$.
		\item Déterminer les limites de $f$ quand $x$ tend vers 1 par valeurs inférieures et quand $x$ tend vers 1 par valeurs supérieures.
		\item En déduire les asymptotes à la courbe ($\mathcal{C}$).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
		\item Montrer que $f'(x)$ s'annule pour $\alpha = 8 + 2\sqrt{14}$ et pour $\beta = 8 - 2 \sqrt{14}$.
	\item Dresser le tableau de variation de $f$
	\end{enumerate}
\item Soit I le point de la courbe ($\mathcal{C}$) d'abscisse 
$\dfrac{1}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la droite ($\Delta$) tangente en I à la courbe ($\mathcal{C}$).
	\item Montrer que le point L, intersection de la courbe ($\mathcal{C}$)
 avec son asymptote horizontale, appartient à la droite ($\Delta$).
	\item Représenter la partie de la courbe ($\mathcal{C}$) pour les valeurs de $x$ strictement supérieures à 1 (unités graphiques : 1~cm en abscisse et 3~cm en ordonnée).
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x$ élément de
l'intervalle $]1~;~+ \infty[$, on ait $f(x) = \dfrac{a}{x} + 
\dfrac{b}{x - 1}.$
		\item Soit $\lambda$ un nombre réel strictement supérieur à 8.

Calculer, en unités d'aire, en fonction de $\lambda$, l'aire $\mathcal{A}(\lambda$) du domaine limité par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  8$ et $x= \lambda$.
		\item Calculer la limite de $\mathcal{A}(\lambda$)  lorsque $\lambda$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$\star$ \textbf{Probabilités}

\medskip

Une urne contient $n$ boules ($n > 8$) dont 3 jaunes et 5 vertes.

Les autres boules sont rouges.

\textbf{I.}  Étude d'un cas particulier : $n = 16$. Il y a donc 8 boules 
rouges.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire une boule de l'urne, on note sa couleur, on la remet, puis
on effectue un nouveau tirage d'une boule.

Déterminer la probabilité des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A : \og On obtient deux boules rouges \fg,
\item B : \og On obtient une boule rouge puis une boule verte ou une boule
verte puis une boule rouge \fg,
\item C : \og On obtient une boule rouge puis une boule jaune ou une boule
jaune puis une boule rouge \fg,
\item D : \og On obtient au moins une boule rouge \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item On effectue maintenant un \emph{tirage simultané de deux boules} de l'urne.

Déterminer la probabilité des évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item A$'$ \og On obtient deux boules rouges \fg,
\item B$'$ \og On obtient une boule rouge et une boule verte \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II.} $n$ quelconque ($n > 8$) Il y a donc ($n - 8$) boules  rouges.
\begin{enumerate}
\item Comme dans le cas particulier précédent, on tire une boule de l'urne, on note sa couleur, on la remet, puis on effectue un nouveau tirage d'une boule. Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'évènement :

\og Obtenir une boule rouge puis une boule verte, ou une boule verte puis une boule rouge \fg.
\item On revient au \textbf{tirage simultané de deux boules :}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la probabilité de l'évènement :
		
\og Obtenir deux boules rouges \fg.
		\item Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p_n$ de 
l'évènement :

\og Obtenir une boule rouge et une boule verte \fg.
		\item En utilisant les variations de la fonction $f$ étudiée dans la partie \textbf{A}, indiquer les valeurs de $n$ qui rendent $p_n$ maximum, puis indiquer la valeur de ce maximum.
	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{document}