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%%% Sujet aimablement fourni par J. Nader
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie  novembre 2008~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{}	on considère les points :

\[\begin{array}{l p{1cm} l}
\text{A} (3~;~-2~;~1)&&	\text{B}(5~;~2~;~-3)\\
\text{C} (6~;~-2~;~-2)&&	\text{D}(4~;~3~;~2)
\end{array}\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~ ;~ 1~; ~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		\item  En déduire une équation du plan (ABC).
		\item  Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3.
	\end{enumerate}
\item Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$  OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K,
	\begin{enumerate}
		\item  Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique.
		\item  Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.
		\item  Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que

\[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad 	z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\]

	\end{enumerate}
			
\textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{-4}{z}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer et placer les points images de B et C par $f$.
		\item  On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
		
Déterminer les points invariants par $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a :
\[\text{O}M  \times \text{O}M' = 4.\]

		\item  Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$.
	\end{enumerate}
\item  Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer OK$'$ et OH$'$.
		\item Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.
		\item  Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$.

On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(4,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2,-2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(0,0)(1.5,1)(2,0)(1,-1)(0,0)
\psline(0,0)(0.24,1.26)
\psline(0.24,1.26)(1.5,1)
\psline(1.5,1)(2.25,0.75)
\psline(2.25,0.75)(2,0)
\psdots(2,0)
\uput[dr](2,0){A}
\psdots[linecolor=blue](1.5,1)
\rput[bl](1.58,1.12){B}
\psdots[linecolor=blue](1,-1)
\uput[dl](1,-1){P}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75)
\rput[bl](0.32,1.38){N}
\rput[bl](2.34,0.86){M}
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,1.9){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B.

On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$.

\medskip
 
\textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{À l'aide des transformations}
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$.
		\item Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$.
		\item Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre.
		\item Quelle est l'image du point O par $r$ ?
		\item En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate}
\item \textbf{En utilisant les nombres complexes}
	\begin{enumerate}
		\item Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a.
		\item En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N.
		\item Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires.
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G.

\begin{center}\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{A}}
{
	\pstree{\TR{B (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}}
		{
 \TR{D (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}
 \TR{E (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}
 		}
	\pstree{\TR{C (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}}
		{
 \TR{F (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}
 \TR{G (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}
 		}
}		
		 \end{center}

\medskip

On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un n{\oe}ud. 
		 
Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item  Calculer l'espérance de $X$.
		\item  Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points.
	\end{enumerate}
\item	Le joueur effectue 8~parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20~points à cette partie.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2~parties. On donnera le résultat arrondi au millième
		\item  Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = \ln x - 2 + x.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
\item  Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij.

On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$, ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2 - x$.  On note E le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-3,-2)(7,5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{-2.5}{4}{2 x sub}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.15}{6.5}{x ln}
\uput[u](1.55,0.46){\blue E} 
\uput[d](6.5,0){$x$} 
\uput[l](0,4.5){$y$}\uput[dl](0,0){O} 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{5}{6.5}{x ln}
\uput[u]{14}(4,1.39){\blue $y = \ln x$}
\uput[d]{-45}(2.5,-0.5){$y = 2 - x$}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère l'aire en unités d'aire, notée $\mathcal{A}$, de la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées du point E.

\item  Soit $I = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une interprétation géométrique de $I$.
		\item  Calculer $I$, en fonction de $\alpha$, à l'aide d'une intégration par parties.
		\item  Montrer que $I$ peut aussi s'écrire $I = -  \alpha^2 + \alpha + 1$ sachant que $f(\alpha) = 0$.
	\end{enumerate}

\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

\[f(x) =  \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\]

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Restitution organisée de connaissances :}

La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant 

\[\left\{\begin{array}{l c l }
g'(x)&=& g(x)\quad  \text{pour tout}~ x \in \R.\\
g(0)& =& 1
\end{array}\right.\]

Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par :

\[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}  \right]\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}$  puis en déduire que 

$u_{n} = (\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
\item  En déduire, en utilisant aussi la \textbf{PARTIE A}, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers  $\text{e} - 1$.
\end{enumerate}
\end{document}