%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{fancybox} %%% Sujet aimablement fourni par J. Nader %%% Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} on considère les points : \[\begin{array}{l p{1cm} l} \text{A} (3~;~-2~;~1)&& \text{B}(5~;~2~;~-3)\\ \text{C} (6~;~-2~;~-2)&& \text{D}(4~;~3~;~2) \end{array}\] \smallskip \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés, puis que le triangle ABC est isocèle et rectangle. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(2~;~1~;~2)$ est un vecteur normal au plan (ABC). \item En déduire une équation du plan (ABC). \item Montrer que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 3. \end{enumerate} \item Calculer le volume du tétraèdre ABCD en unités de volume. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2. La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$ OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K, \begin{enumerate} \item Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique. \item Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH. \item Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que \[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\] \end{enumerate} \end{enumerate} \smallskip \textbf{Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : \[z' = \dfrac{-4}{z}.\] \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Déterminer et placer les points images de B et C par $f$. \item On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image. Déterminer les points invariants par $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a : \[\text{O}M \times \text{O}M' = 4.\] \item Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$. \end{enumerate} \item Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$. \begin{enumerate} \item Calculer OK$'$ et OH$'$. \item Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. \item Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $\left(\text{O}~;~\vect{\text{OI}}~;~\vect{\text{OJ}}\right)$. On considère les points A et B d'affixes respectives $z_{\text{A}}= 2$ et $z_{\text{B}} = \dfrac{3}{2} + \text{i}$. On considère les points M, N et P tels que les triangles AMB, BNO et OPA soient des triangles rectangles isocèles de sens direct comme le montre la figure ci-dessous. \vspace{0,5cm} \begin{center} \psset{unit=1.75cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=2pt 3,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(4,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-2,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt 0,subticks=2](0,0)(-2,-2)(4,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline(0,0)(1.5,1)(2,0)(1,-1)(0,0) \psline(0,0)(0.24,1.26) \psline(0.24,1.26)(1.5,1) \psline(1.5,1)(2.25,0.75) \psline(2.25,0.75)(2,0) \psdots(2,0) \uput[dr](2,0){A} \psdots[linecolor=blue](1.5,1) \rput[bl](1.58,1.12){B} \psdots[linecolor=blue](1,-1) \uput[dl](1,-1){P} \uput[dl](0,0){O} \psdots(0,0)(0.24,1.26)(2.25,0.75) \rput[bl](0.32,1.38){N} \rput[bl](2.34,0.86){M} \uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,1.9){$y$} \end{pspicture*} \end{center} On note $s_{1}$ la similitude directe de centre A qui transforme M en B. On note $s_{2}$ la similitude directe de centre O qui transforme B en N. On considère la transformation $r = s_{2} \circ s_{1}$. \medskip \textbf{Le but de l'exercice est de démontrer de deux façons différentes que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. } \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{À l'aide des transformations} \begin{enumerate} \item Donner l'angle et le rapport de $s_{1}$ et de $s_{2}$. \item Déterminer l'image du point M puis celle du point I par la transformation $r$. \item Justifier que $r$ est une rotation d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ dont on précisera le centre. \item Quelle est l'image du point O par $r$ ? \item En déduire que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item \textbf{En utilisant les nombres complexes} \begin{enumerate} \item Donner les écritures complexes de $s_{1}$ et $s_{2}$. On utilisera les résultats de la question 1. a. \item En déduire les affixes $z_{\text{M}}$ et $z_{\text{N}}$ des points M et N. \item Donner, sans justification, l'affixe $z_{\text{P}}$ du point P puis démontrer que les droites (OM) et (PN) sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un joueur lance une bille qui part de A puis emprunte obligatoirement une des branches indiquées sur l'arbre ci-dessous pour arriver à l'un des points D, E, F et G. \begin{center}\pstree[levelsep=2.5cm,nodesep=6pt]{\TR{A}} { \pstree{\TR{B (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$}} { \TR{D (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{E (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } \pstree{\TR{C (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$}} { \TR{F (0 pt)}^{$\dfrac{8}{9}$} \TR{G (10 pts)}_{$\dfrac{1}{9}$} } } \end{center} \medskip On a marqué sur chaque branche de l'arbre la probabilité pour que la bille l'emprunte après être passé par un n{\oe}ud. Les nombres entre parenthèses indiquent les points gagnés par le joueur lors du passage de la bille. On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au nombre total de points gagnés à l'issue d'une partie c'est-à-dire une fois la bille arrivée en D, E, F ou G. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, les résultats sont attendus sous forme fractionnaire. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de $X$. \item Calculer l'espérance de $X$. \item Calculer la probabilité que la bille ait suivi la branche AC sachant que le joueur a obtenu exactement 10 points. \end{enumerate} \item Le joueur effectue 8~parties et on suppose que ces huit parties sont indépendantes. On considère qu'une partie est gagnée si le joueur obtient 20~points à cette partie. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'il gagne exactement 2~parties. On donnera le résultat arrondi au millième \item Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par \[f(x) = \ln x - 2 + x.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variations. \item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. Donner un encadrement du nombre $\alpha$ à $10^{-2}$ près. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On considère sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $\ln$, ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 2 - x$. On note E le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3,-2)(7,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,griddots=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-2)(7,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-3,-2)(7,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-2.5}{4}{2 x sub} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0.15}{6.5}{x ln} \uput[u](1.55,0.46){\blue E} \uput[u](6.9,0){$x$} \uput[r](0,4.9){$y$}\uput[dl](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{5}{6.5}{x ln} \uput[u]{14}(4,1.39){\blue $y = \ln x$} \uput[d]{-45}(2.5,-0.5){$y = 2 - x$} \end{pspicture} \end{center} \smallskip On considère l'aire en unités d'aire, notée $\mathcal{A}$, de la partie du plan située au dessus de l'axe des abscisses et au dessous de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point E. \item Soit $I = \displaystyle\int_{1}^{\alpha} \ln x\:\text{d}x$. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation géométrique de $I$. \item Calculer $I$, en fonction de $\alpha$, à l'aide d'une intégration par parties. \item Montrer que $I$ peut aussi s'écrire $I = - \alpha^2 + \alpha + 1$ sachant que $f(\alpha) = 0$. \end{enumerate} \item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en fonction de $\alpha$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{PARTIE A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^{x} - 1}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \textbf{Restitution organisée de connaissances :} La fonction exponentielle est l'unique fonction $g$ dérivable sur $\R$ vérifiant \[\left\{\begin{array}{l c l } g'(x)&=& g(x)\quad \text{pour tout}~ x \in \R.\\ g(0)& =& 1 \end{array}\right.\] Démontrer que $\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{\text{e}^{h} - 1}{h} = 1$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B} \medskip Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie pour $n$ entier supérieur ou égal à 1 par : \[u_{n} = \dfrac{1}{n}\left[1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}} \right]\] \begin{enumerate} \item Démontrer que $1 + \text{e}^{\frac{1}{n}} + \text{e}^{\frac{2}{n}} + \cdots + \text{e}^{\frac{n - 1}{n}}= \dfrac{1 - \text{e}}{1 - \text{e}^{\frac{1}{n}}}$ puis en déduire que $u_{n} = (\text{e} - 1) f\left(\dfrac{1}{n}\right)$. \item En déduire, en utilisant aussi la \textbf{PARTIE A}, que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\text{e} - 1$. \end{enumerate} \end{document}