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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small novembre 2010}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2010~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question aucune justification n'est demandée, tous les tracés demandés seront effectués sur le repère orthonormal fourni en annexe 2 qui sera rendu avec la copie.
 
On souhaite tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ satisfaisant les conditions suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item La fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~6]. 
\item Le maximum de la fonction $f$ est 5, il est atteint pour $x = 0$.
\item Le minimum de la fonction $f$ est 1. 
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~6]. 

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et on sait que $f'(0) = - 3,~ f(6) = 3$ et $f'(6) = 2$. 
\item  Le signe de la fonction dérivée $f'$ de $f$ est donné par le tableau suivant :
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
\medskip
\begin{center}
\begin{pspicture}(8.2,2) 
\psframe(8,2) \psline(0,1)(8,1)\psline(2.2,0)(2.2,2)
\rput(1,1.5){$x$} \rput(2.35,1.5){$0$} \rput(5,1.5){$4$} \rput(7.8,1.5){$6$}  \rput(1.1,0.5){signe de $f'(x)$}	
\rput(3.5,0.5){$-$} \rput(5,0.5){$0$} \rput(6.5,0.5){$+$} 	
\end{pspicture}\end{center}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de variations de la fonction $f$, fourni en annexe 1. 
On fera figurer dans le tableau les images par $f$ de $0$, de $4$ et de $6$. 
		\item Donner l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $6$. 
		\item Tracer dans le repère fourni en annexe 2 la courbe représentative d'une fonction satisfaisant toutes les conditions ci-dessus.
		 
On placera les points d'abscisses $0,~4,~6$ et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.
	\end{enumerate}
 
\item Dans cette question toute réponse doit être justifiée.
 
On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~6] par $g(x) = \text{e}^{f(x)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~6].
		 
Compléter le tableau de variation de la fonction $g$ fourni en annexe 3.

On précisera les valeurs de $g(0),\:g(4)$ et $g(6)$. 
		\item Déterminer $g'(0)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la répartition des contributions au financement des soins et des biens médicaux sur la période 2004-2008. Les valeurs sont données en pourcentage.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.8cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
								&2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$			& 0 		&1 		&2 		&3 	&4\\ \hline
Sécurité sociale et autres financements& 91,7& 91,6	&91,1&91 &90,6\\ \hline 
Ménages $y_{i}$				& 8,3 		&8,4 	&8,9 	&9,0 &9,4\\ \hline 
Total 						&100,0 		&100,0 	&100,0 	&100,0 &100,0\\ \hline 
\multicolumn{6}{c}{\footnotesize Source: DREES, Comptes de la santé. ÉTUDES et RÉSULTATS \no 701 - septembre 2009}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
Par exemple en 2004, la contribution de la sécurité sociale et des autres organismes financeurs s'est élevée à 91,7\,\% du financement des soins et des biens médicaux et les ménages ont financé 8,3\,\% de ces soins et biens médicaux.

\bigskip
 
\textbf{Partie A : Étude en pourcentages}

\medskip
 
$y_{i}$ désigne la part en pourcentage financée par les ménages lors de l'année de rang $x_{i}$·

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Représenter le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ entier variant de $0$ à $4$. 

On placera l'origine du repère à $0$ en abscisse et $8$ en ordonnée. On prendra pour unités: 2~cm pour 1 rang en abscisses et 5~cm pour 1\,\% en ordonnées. 
\item La forme du nuage de points permet de considérer qu'un ajustement affine est justifié. 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. 
		\item Représenter la droite $D$ dans le repère précédent.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que l'évolution constatée sur la période 2004-2008 se poursuit en 2009 et en 2010. Justifier par un calcul qu'avec cet ajustement affine, on peut prévoir une part des ménages dans le financement des soins et des biens médicaux de 9,92\,\% en 2010. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude en valeurs}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La dépense de soins et de biens médicaux était de 140~milliards d'euros en 2004.
 
Calculer la somme versée par les ménages pour financer les soins et les biens médicaux en 2004. 
\item La dépense de soins et de biens médicaux était de 170,5 milliards d'euros en 2008. On fait l'hypothèse d'une croissance de la dépense de soins et de biens médicaux de 3\,\% en 2009 et à nouveau de 3\,\% en 2010. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la dépense de soins et de biens médicaux en 2010. (On arrondira le résultat au milliard d'euros.) 
		\item Quelle somme versée par les ménages pour le financement des soins et des biens médicaux peut-on prévoir pour l'année 2010 ? (On arrondira le résultat au milliard d'euros. )
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{A - Observation d'une suite de nombres} 

\medskip

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.05cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(18,180)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](0,161)(1,104.6)(2,70.76)(3,50.456)(4,38.27)(5,30.96)(6,26.58)(7,23.95)(8,22.37)(9,21.42)(10,20.85)(11,20.51)(12,20.31)(13,20.18)(14,20.11)(15,20.07)
\uput[u](18,0){$n$} \uput[r](0,180){$u_{n}$}
\multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,180)}
\multido{\n=0+10}{19}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(18,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(18,180)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{figure}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique des 16 premiers termes d'une suite $\left(u_{n}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
 
Conjecturer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Les quatre premiers termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ ont été calculés avec un tableur :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline 
$n$&$u_{n}$ \\ \hline 
0& 161\\ \hline 
1 &104,6 \\ \hline 
2 &70,76 \\ \hline 
3 &50,456 \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

La suite $\left(u_{n}\right)$ peut-elle être une suite géométrique ? On justifiera la réponse donnée.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B - Étude de la suite}

\medskip
 
La suite $\left(u_{n}\right)$ observée dans la partie A est définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1} = 0,6u_{n} + 8$ et $u_{0} = 161$.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{4}$. 
\item Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 20$.
 
Montrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique. On précisera le premier terme et la raison. 
\item Donner l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Une université fait passer un test à ses étudiants. A l'issue du test chaque étudiant est classé dans l'un des trois profils A, B et C définis ci-dessous.
 
50\,\% des étudiants ont le profil A : ils mémorisent mieux une information qu'ils voient (image, diagramme, courbe, film ... ).
 
20\,\% des étudiants ont le profil B : ils mémorisent mieux une information qu'ils entendent.
 
30\,\% des étudiants ont le profil C : ils mémorisent aussi bien l'information dans les deux situations.

\bigskip
 
À la fin de la session d'examen de janvier on constate que
 
70\,\% des étudiants ayant le profil A ont une note supérieure ou égale à 10,

75\,\% des étudiants ayant le profil B ont une note supérieure ou égale à 10,
 
85\,\% des étudiants ayant le profil C ont une note supérieure ou égale à 10.

\medskip
 
On choisit de manière aléatoire un étudiant de cette université. On note
 
$A$ l'évènement \og l'étudiant a le profil A \fg,

$B$ l'évènement \og l'étudiant a le profil B \fg,
 
$C$ l'évènement \og l'étudiant a le profil C \fg
   
$M$ l'évènement \og l'étudiant a une note supérieure ou égale à 10 \fg{} et $\overline{\text{M}}$ l'évènement contraire.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant pour qu'il traduise les données de l'expérience aléatoire décrite dans l'énoncé :

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$~}}
	  { 
		  \TR{$M$}
		  \TR{$\overline{M}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$~}}
	  {
		  \TR{$M$}
		  \TR{$\overline{M}$} 
	  }
	\pstree{\TR{$C$~}}
	  {
		  \TR{$M$}
		   \TR{$\overline{M}$}
	  }	
}
\end{center} 

\medskip

\emph{Dans la suite de l'exercice les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondie au millième.}

\medskip
 
\item Calculer la probabilité que l'étudiant choisi soit de profil C et qu'il ait obtenu une note supérieure ou égale à 10. 
\item Démontrer que $P(\text{M}) = 0,755$. 
\item Calculer la probabilité que l'étudiant soit de profil B sachant qu'il a obtenu une note strictement inférieure à $10$. 
\item On choisit quatre étudiants au hasard. On admet que le nombre d'étudiants est suffisamment grand pour que ce choix soit assimilé à quatre tirages successifs indépendants avec remise. Calculer la probabilité qu'exactement trois de ces étudiants soient du profil C. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = \ln x - \dfrac{1}{2}.\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$ sur $[1~;~+\infty[$. 
\item Résoudre l'équation $g(x) = 0$ dans $[1~;~+\infty[$. 
\item En déduire que $g(x) > 0$ si et seulement si $x > \sqrt{\text{e}}$.
\end{enumerate}
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = 2x^2(\ln x - 1) + 2.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. 
\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[1~;~+\infty[,~f'(x) = 4xg(x)$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[1~;~+\infty[$ et en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[1~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, dans l'intervalle [2~;~3], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique notée $\alpha$. 
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

{\large\textbf{Annexes -- à rendre avec la copie}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Annexe 1}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4) \psline(0,3)(10,3) \psline(0,3.5)(10,3.5)
\psline(3,0)(3,4)
\uput[u](1.5,3.5){$x$} \uput[u](3.15,3.5){$0$} \uput[u](7,3.5){$4$} \uput[u](9.85,3.5){$6$} 
\uput[u](1.5,2.9){signe de $f'(x)$} \uput[u](5,3){$-$}\uput[u](7,3){$0$}\uput[u](8.5,3){$+$}
\rput(1.5,1.5){variations de $f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,7)
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=6,gridwidth=1pt,gridcolor=orange](0,0)(8,7)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{annexe 3}

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5)
\psline(3,0)(3,3.5)\psline(0,3)(10,3)
\uput[u](1.5,3){$x$} \uput[u](3.15,3){$0$} \uput[u](7,3){$4$} \uput[u](9.85,3){$6$}
\rput(1.5,1.5){variations de $g$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}