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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small Nouvelle-Calédonie}
\rfoot{\small{décembre 1999}} 
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\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle Calédonie décembre 1999~\decofourright}} 
\end{center} 

\vspace{0,25cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct \Oijk, 
on considère les points A$(3~;~0~;~1)$, B$(0~;~- 1~;~2)$ et C$(1~;~ - 1~;~0)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n} = 
\vect{\text{AB}} \wedge \vect{\text{AC}}$. En déduire une équation cartésienne du plan ABC. 
\item Soit D le point de coordonnées $(1~;~1~;~- 2)$. Calculer le produit 
scalaire du vecteur $\vect{\text{DA}}$ et du vecteur  $\vect{\text{DB}} \wedge \vect{\text{DC}}$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant 
par D et dont un vecteur directeur est $\vect{n}$. 
		\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection H de cette 
droite avec le plan ABC.
		\item Calculer DH (distance du point D au plan ABC). 
	\end{enumerate} 
\item Calculer les coordonnées du point D$'$, symétrique du point D par rapport au plan ABC. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} ; unité graphique : 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les 
points A, B, et D d'affixes respectives $\sqrt{3} + \text{i},\: \sqrt{3}$ - \text{i} 
et $-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$. 
\item On considère la rotation R de centre O et d'angle 
$\dfrac{\pi}{3}$ et la translation T de vecteur d'affixe 1. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les affixes $z_{\text{A}'}$ et $z_{\text{B}'}$ des points 
A$'$ et B$'$, images respectives des points A et B par la rotation 
R.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{D}'}$, du point D$'$, image du point D par la translation T. 
		\item Placer les points A$'$,~ B$'$ et D$'$. 
	\end{enumerate} 
\item Déterminer un argument du nombre complexe 
$\dfrac{z_{\text{A}'} - z_{\text{B}'}}{z_{\text{D}'}}$.

Justifier que la droite (OD$'$) est une médiatrice du triangle 
OA$'$B$'$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Soit $n$ un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : 
$N = 9 n + 1$ et $M = 9n - 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item On suppose que $n$ est un entier pair. On pose $n = 2p$, 
avec $p$ entier naturel non nul. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers impairs. 
		\item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. 
	\end{enumerate} 
\item On suppose que $n$ est un entier impair. On pose $n = 2p + 
1$ , avec $p$ entier naturel.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $M$ et $N$ sont des entiers pairs. 
		\item En remarquant que $N = M + 2$, déterminer le PGCD de $M$ et $N$. 
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel non nul $n$, on considère 
l'entier $81n^2 - 1$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer l'entier $81n^2 - 1$ en fonction des entiers $M$ et $N$.
		\item Démontrer que si $n$ est pair alors $81 n^2 - 1$ est 
impair.
		\item Démontrer que $81 n^2 - 1$ est divisible par 4 si et seulement si 
$n$ est impair. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle : 

\[y'- 2y = \text{e}^{ 2x}, \quad (\text{E}).\]
 
\begin{enumerate} 
\item Démontrer que la fonction $u$ définie sur $\R$ par $u(x) = 
x \text{e}^{2x}$ est une solution de (E). 
\item Résoudre l'équation différentielle : $y'- 2y = 0$ \quad 
(E$_{0}$). 
\item Démontrer qu'une fonction $v$ définie sur $\R$ est solution de (E) 
si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$). 
\item En déduire toutes les solutions de l'équation (E). 
\item Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur $1$ en $0$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip
 
Le plan est rapporté au repère orthonormé \Oij. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = (x + 1) \text{e}^{2x} .\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le repère 
\Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate} 
\item Étudier la limite de $f$ en $+ \infty$ puis la limite 
de $f$ en $- \infty$.
\item Soit $x$ un nombre réel. Calculer $f'(x)$.
 
Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
 
Préciser le signe de $f(x)$ pour tout réel $x$. 
\item Soit un réel $\alpha$ strictement inférieur à $- 1$. On considère le 
domaine plan $\mathcal{D}$ limité par $\mathcal{C}$, les droites 
d'équation $x = \alpha,\: x = - 1$ et l'axe des abscisses.
	\begin{enumerate} 
		\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer l'aire 
$\mathcal{D}(\alpha)$ du domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Déterminer la limite de $\mathcal{D}(\alpha)$ lorsque 
$\alpha$ tend vers $-\infty$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Résolution d'une équation} 

\medskip

\begin{enumerate} 
	\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une solution 
unique $x_{0}$ dans l'intervalle [0,2~;~0,3]. 
	\item Recopier, puis compléter le tableau 
suivant :
 
\[\begin{tabularx}{\linewidth}{| *{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ 	&0,05 	&0,1 	&0,15 	&0,2 	&0,25 	&0,3 \\ \hline 
$f(x)$ 	& 		& 		& 		& 		&		& \\ \hline 
\end{tabularx}\] 

Les valeurs de $f(x)$ seront arrondies avec une précision de $10^{-2}$ près 
par défaut. 
\item Sur le papier millimétré, ci-dessous, où les unités sont de 10 cm 
en abscisses et 5 cm en ordonnées, tracer l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ pour $x$ appartenant à $[0~;~0,3]$.
 
Faire apparaître $x_{0}$ sur le graphique. 
\end{enumerate}
 
\begin{center} 
\psset{xunit=10cm,yunit=5cm} 
\begin{pspicture}(1,2) 
\psgrid[subgriddiv=50,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.4pt](0,0)(1,2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,tickstyle=bottom,Oy=1]{->}(0,0)(1,2) 
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=1](0,0)(1,2)
\uput[d](0.1,0){0,1} \uput[d](0.2,0){0,2} \uput[d](0.3,0){0,3} 
\multido{\n=0.0+0.1}{10}{\psline(\n,0)(\n,-0.025)} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip
 
Démontrer que $x_{0}$ satisfait à la relation : $x_{0} = \dfrac{1}{2} 
\ln \left(\dfrac{2}{x_{0}+1}\right)$. 

\bigskip
 
\textbf{Partie D - Approximation de} \boldmath $x_{0}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $h$ la fonction définie sur I = [0,2~;~0,3] par
 
\[h(x) = \dfrac{1}{2} \ln \left( \dfrac{2}{x + 1}\right).\]
 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que pour tout $x$ de I,\: $h(x)$ appartient à I. 
		\item Démontrer que pour tout $x$ de I,\: $\left|h'(x)\right| \leqslant 0,42$. 
	\end{enumerate} 
\item Soit ($u_{n}$) la suite définie par : $u_{0} = 0,2$ et, pour tout entier 
naturel $n$,

$u_{n+1} = h(u_{n})$. 
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant l'inégalité des accroissements finis, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\left|u_{n+1} - x_{0}\right| \leqslant 0,42| u_{n} - 
x_{0}|$.
 
À l'aide d'un raisonnement par récurrence, déduire que, pour tout 
entier naturel $n$ on a : $\left|u_{n} - x_{0}\right| \leqslant 0,1 \times (0,42)^n$. 
	\item Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
	\item Déterminer un entier $p$ tel que $\left|u_{p} - x_{0}\right| \leqslant 
10^{-5}$. 
	\item On note $b$ la valeur de $u_{p}$ affichée sur la calculatrice. 
Déterminer $\beta$ valeur décimale approchée par défaut de $b$ à 
$10^{-5}$ près.
 
Classer par ordre croissant les réels $f(\beta),~ f\left(\beta + 10^{- 5}\right)$ 
et 2.

En déduire la valeur décimale approchée par défaut de $x_{0}$ à $10^{- 
5}$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}