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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{A. P. M. E. P.}
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\thispagestyle{empty}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie  décembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie I} \end{center}

L'espace E est rapporté à un repère orthonormal \Oijk.

Les points A, B, C et D ont pour coordonnées respectives :
\[ (- 1~;~0~;~2),\quad (3~;~2~;~- 4), \quad (1~;~- 4~;~2), \quad (5~;~- 
2~;~4). \]

On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu 
du segment [AB], K est le milieu du segment [CD] et 
$\vect{\text{BJ}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}}$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points I, J et K ne sont pas 
alignés.
		\item Justifier qu'une équation cartésienne du plan (IJK) est :

\[ 8x + 9y + 5z - 12 = 0. \]

		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et 
montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L 
dont on déterminera les coordonnées.
		\item Montrer que :

\[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}}.\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie II} \end{center}

Plus généralement, dans l'espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K  est le milieu du segment [CD].

\[ \vect{\text{AL}} = \dfrac{1}{4}\vect{\text{AD}} 
\qquad \text{et} \qquad \vect{\text{BJ}} = 
\dfrac{1}{4}\vect{\text{BC}} \]

Soit G le barycentre de {(A,~3), (B,~3), (C,~1), D,~1)}.

\begin{enumerate}
\item Déterminer les barycentres de \{(A,~3), (D,~1)\} et le 
barycentre de \{(B,~3), (C,~1)\}.
\item En associant les points A, B, C et D de deux façons 
différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL).

En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct 
\Ouv, unité graphique : 4~cm. Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = - $i et B le point 
d'affixe $z_{\text{B}} = - 2$i.

On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe 
$z$, $M$ distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par 
$z' = \dfrac{\text{i}z - 2}{z + \text{i}}$.

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que, si $z$ est un imaginaire pur, $z \neq 
- \text{i}$, alors $z'$ est imaginaire pur.
\item Déterminer les points invariants par l'application $f$.

\item Calculer $\left|z' - \text{i}\right| \times |z + \text{i}|$.

Montrer que, quand le point $M$ décrit le cercle de centre A et 
de rayon 2, le point $M'$ reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Développer $(z + \text{i})^2$, puis factoriser $z^2 + 2\text{i}z - 
2$.
		\item Déterminer et représenter l'ensemble des points $M$, tels que 
$M'$ soit le symétrique de $M$ par rapport à O.
	\end{enumerate}
\item Déterminer et représenter l'ensemble E des points 
$M$, tels que le module de $z'$ soit égal à 1.

$\left(\text{On pourra remarquer que}~ z' = \dfrac{\text{i}\left(z -z_{\text{B}}
  \right)}{z - z_{\text{A}}}.\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center} \textbf{Partie I} \end{center}

Soit $x$ un nombre réel.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $x^4 + 4 = \left(x^2 + 2\right)^2 - 4x^2$.
\item En déduire que $x^4  + 4$  peut s'écrire comme 
produit de deux trinômes à coefficients réels.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie II} \end{center}

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On considère les entiers $A = n^2 - 2n + 2$ et $B = n^2 + 2n + 2$ et $d$ 
leur PGCD.

\begin{enumerate} 
\item Montrer que $n^4 + 4$ n'est pas premier.
\item Montrer que, tout diviseur de $A$ qui divise $n$, divise 2.
\item Montrer que, tout diviseur commun de $A$ et $B$, 
divise $4n$.
\item Dans cette question on suppose que $n$ est impair.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $A$ et $B$ sont impairs. En déduire que $d$ est 
impair.
		\item Montrer que $d$ divise $n$.
		\item En déduire que $d$ divise 2, puis que $A$ et $B$ sont premiers 
entre eux.
	\end{enumerate}
\item On suppose maintenant que $n$ est pair.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que 4 ne divise pas $n^2 - 2n + 2$.
		\item Montrer que $d$ est de la forme $d = 2p$, où $p$ est impair.
		\item Montrer que $p$ divise $n$. En déduire que $d = 2$. (On pourra 
s'inspirer de la démonstration utilisée à la question \textbf{4})
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 5 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

\[ f(x) = x - \left(x^2 + 4x + 3\right)\text{e}^{- x}.\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le 
plan rapporté à un repère orthonormal \Oij{} ; l'unité graphique est 2~cm.

\begin{center} \textbf{Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire 
\boldmath $g$ \unboldmath }\end{center}

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par :

\[ g(x) = \left(x^2 + 2x - 1\right)\text{e}^{- x} + 1. \]

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
\item Calculer $g'(x)$ et montrer que $g'(x)$ et $(3 - x^2)$ ont le même signe.
\item En déduire le tableau de variations de $g$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$. Vérifier que $g(0) = 0$. On note $\alpha$ la solution non nulle.
		\item Prouver que $- 2,4 < \alpha < - 2,3$.
	\end{enumerate}
\item En déduire le signe $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie B - Étude de la fonction 
\boldmath $f$ \unboldmath} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout réel $x,~f'(x) = g(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite (D) d'équation $y = x$, est 
asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item  Montrer que la droite (D)et la courbe $(\mathcal{C})$ 
se coupent en deux points A et B dont on donnera les coordonnées.
		\item Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe 
$(\mathcal{C})$.
	\end{enumerate}
\item Construire la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D).
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie C - Calculs d'aire}  \end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $H$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[ H(x) = \left(ax^2 + bx + c  \right)\text{e}^{-x}.\]

Déterminer les réels $a,~b$ et $c$ tels que la fonction $H$ soit 
une primitive de la fonction $h$ définie par :

\[ h(x) = \left(x^2 + 4x + 3  \right)\text{e}^{-x}. \]

\item Déterminer l'aire, en unités d'aire, de la partie de 
plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite (D).
\item Soit $m$ un réel strictement supérieur à $- 1$. On 
considère le domaine $\left(\mathcal{D}_m \right)$ délimité par la courbe 
$(\mathcal{C})$, la droite (D) et les droites d'équations respectives 
$x = - 1$ et $x = m$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'aire $\left(\mathcal{A}_m \right)$ du domaine
$\left(\mathcal{D}_m \right)$, en unités d'aire.
		\item Déterminer la limite de $\left(\mathcal{A}_m \right)$ lorsque $m$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}