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%Tapuscrit : Denis Vergès
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% Pour avoir des graduations décimales
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars  2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\textbf{\Large{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie mars  2003~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{ Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = z^2 + 1.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer  les antécédents du point O.

\item Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, préciser leurs affixes
respectives.

\item Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l'axe des abscisses ?

\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} =  \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignés.

\item Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi[$ et $N$ le point d'affixe~$\text{e}^{\text{i}\theta}$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1. 
		\item Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
		\item Vérifier que $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta  \vect{\text{O}N}$. En déduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignés.  
		\item Expliquer la construction du point $N'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\medskip

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services.

On note, pour $n$ entier naturel non nul, $I_{n}$ l'évènement \og La société intervient durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur \fg{} et  $p_{n} = p\left(I_{n}\right)$ la probabilité de l'évènement $I_{n}$.

Le bureau d'étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise déterminée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p\left(I_{1}\right) = p_{1} = 0,75.$
\item[$\bullet~$]  Sachant qu'il y a eu une intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilité d'intervention le mois suivant est égale à $0,04$.
\item[$\bullet~$]  Sachant qu'il n'y a pas eu d'intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilité d'intervention le mois suivant est égale à $0,64$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que $\overline{A}$ est l'évènement contraire de l'évènement $A$ et que $p_{B}(A)$ est la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est réalisé.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Partie 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser $p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right)$ puis calculer $p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right)$ et $p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right)$ en fonction de $p_{n}\quad  \left(n \in  \N^*\right)$.

\item En déduire $p_{n + 1} = - 0,6p_{n} + 0,64$.

\item On considère la suite $(q_{n})$ définie sur $\N^*$ par : $q_{n} =  p_{n} - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $(q_{n})$ est une suite géométrique.
		\item En déduire $q_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Donner une valeur approchée de $p_{6}$ à $10^{-3}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Partie 2}}

\medskip

Le même mois, la société  de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.

On estime que la probabilité d'intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à $0,373$.

Donner, à $10^{-3}$ près par excès, la probabilité qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Exercice 3\hfill 10 points}

\medskip


\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(8,0.6)
\psline(0.8,-0.2)(1.6,0.6)
\psline(0,0)(3.262,0.6)
\psline(0,0.368)(8,0.368)
\psline(0,0.44)(8,0.25)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](\n,-0.2)(\n,0.6)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](0,\n)(8,\n)}
\qdisk(1,0){2pt} \qdisk(1.648,0.3031){2pt} \qdisk(2.7183,0.368){2pt}
\qdisk(4.4817,0.3347){2pt}
\psaxes[Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(8,0.6)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.843}{8}{x ln x div}
\uput[ul](1,0){A} \uput[dr](1.648,0.3031){B} \uput[d](2.7183,0.368){C} \uput[d](4.4817,0.3347){D}
\uput[u](7.75,0.26){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](7.75,0.25){(T)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Partie I}}

\medskip

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ où $f$ est une fonction définie et dérivable sur $\R_{+}^{*}$. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1,~$\sqrt{\text{e}}$,   e et e$\sqrt{\text{e}}$ ; de plus, A appartient à l'axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à $\mathcal{C}$ au point D.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne demande qu'une observation graphique.

\textsl{Avec la précision permise par ce graphique :}

	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation à $5 \times 10^{-2}$ près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, B, C et D.
		\item Préciser combien la courbe $\mathcal{C}$ admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l'origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l'abscisse du point de contact avec la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction dérivée de $f$. Justifier ce choix.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(12,2.6)
\psframe(0,0)(3.8,2.6)
\psline(0,2)(3.8,2) \psline(0.8,0)(0.8,2.6)
\uput[u](0.4,2){$x$} \uput[u](1,2){$0$} \uput[u](3.5,2){$+ \infty$}
\psframe(4,0)(7.8,2.6)
\psline(4,2)(7.8,2) \psline(4.8,0)(4.8,2.6)
\uput[u](4.4,2){$x$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$}
\psframe(8,0)(11.8,2.6)
\psline(8,2)(11.8,2) \psline(8.8,0)(8.8,2.6)
\uput[u](8.4,2){$x$} \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](11.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](2.3,2){e} \uput[u](6.3,2){e$\sqrt{\text{e}}$}  
\psline{->}(0.9,0.1)(2.2,1.8) \psline{->}(2.4,1.8)(3.7,0.1) 
\psline{->}(4.9,1.8)(6.3,0.1) \psline{->}(6.5,0.1)(7.7,1.8) 
\psline{->}(8.9,0.1)(11.7,1.8) \end{pspicture}\end{center}

\item On rappelle que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$.

On admet que la fonction dérivée de $f$ est définie sur $\R_{+}^{*}$ par
		
\[g(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $g$. Cela corrobore-t-il votre choix dans la
question \textbf{1. c.} ? 
		\item Déterminer les limites de $g$ en 0, puis en $+ \infty$.
		\item Calculer $g(1),~ g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)$ ; puis démontrer que l'équation $g(x) = 1$ n'a qu'une seule solution. Quelle observation de la question \textbf{1. b.} a-t-on démontrée ? 
		\item Expliquer pourquoi $f$ est définie sur $\R_{+}^{*}$ par 

\[f(x) = \displaystyle\int_{1}^x \left(\dfrac{1 - \ln t}{t^2}\right)\:\text{d}t.\]

Calculer $f(x)$ à l'aide d'une intégration par parties.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ Partie II}

\medskip

On étudie la fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$, préciser ses limites en $0$ puis en $+ \infty$.
\item On cherche à justifier les observations de la question \textbf{I. 1.} concernant les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condition donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie \textbf{I. 2. c.} et préciser ces points.

\item Étude de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point D (le point D a pour abscisse e$\sqrt{\text{e}}$).
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation de la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point D est
		
\[y = \dfrac{- x + 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2\text{e}^3}.\] 

		\item Montrer que le signe de $\left(2\text{e}^3\ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}\right)$ détermine la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente.
		\item On note $\varphi$ la fonction définie sur $\R_{+}^{*}$ par

\[\varphi(x) = 2\text{e}^3 \ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}.\]

À partir des variations de $\varphi$, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente (T).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Partie III Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d'une suite géométrique dont on précisera la raison. Vérifier que l'abscisse de D est le quatrième terme de cette suite. 

\item Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement supérieur à 1 et $E$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{0}$. On considère les droites $\Delta_{\text{A}},~\Delta_{\text{B}},~\Delta_{\text{C}},~\Delta_{\text{D}}$ et $\Delta_{E}$ parallèles à l'axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et $E$.

On note $U_{1}$  l'aire de la partie du plan limite par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{A}}$ et $\Delta_{\text{C}}$  ; $U_{2}$ l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{B}}$ et $\Delta_{\text{D}}$ et $U_{3}$ l'aire de la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{C}}$ et $\Delta_{E}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{1}$, puis $U_{2}$.
		\item Déterminer $x_{0}$ pour que $U_{1},~U_{2}$ et $U_{3}$ soient les trois premiers termes d'une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l'abscisse du point $E$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 