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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Terminale S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\textbf{\Large{\decofourleft~BaccalaurŽéat S Nouvelle--Calédonie mars 2003~\decofourright}}}

\medskip

\end{center}

\textbf{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv. On considère la transformation ponctuelle $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ dŽéfinie par :

\[z' = z^2 + 1.\]

\begin{enumerate}
\item DŽéterminer  les antŽécŽédents du point O.
\item Existe-t-il des points invariants par $f$ ? Si oui, prŽéciser leurs affixes
respectives.
\item Montrer que deux points symŽétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points syméŽtriques par rapport à l'axe des abscisses ?
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 + \text{i})$. Déterminer l'affixe du point A$'$ image de A par $f$ puis prouver que les points O, A et A$'$ sont alignŽés.
\item Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $[0~;~2\pi[$ et $N$ le point d'affixe~$\text{e}^{\text{i}\theta}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $N$ appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1. 
		\item Lorsque $\theta$ varie, montrer que $N'$, image du point $N$ par $f$ reste sur un cercle dont on préŽcisera le centre et le rayon.
		\item Vérifier que $\vect{\text{O}N'} = 2\cos \theta \vect{\text{O}N}$. En dŽéduire que les points O, $N$ et $N'$ sont alignéŽs.
		\item Expliquer la construction du point $N'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\medskip

Une sociétŽé de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adaptŽé à ses services.

On note, pour $n$ entier naturel non nul, $I_{n}$ l'Žévènement \og La sociŽété intervient durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur \fg{} et $p_{n} = p\left(I_{n}\right)$ la probabilitéŽ de l'Žévènement $I_{n}$.

Le bureau d'Žétude a mis en évidence les rŽésultats suivants pour une entreprise dŽéterminŽée :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $p\left(I_{1}\right) = p_{1} = 0,75.$
\item[$\bullet~$] Sachant qu'il y a eu une intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,04$.
\item[$\bullet~$] Sachant qu'il n'y a pas eu d'intervention durant le $n$-ième mois qui suit l'installation d'un photocopieur, la probabilitŽé d'intervention le mois suivant est Žégale à $0,64$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que $\overline{A}$ est l'Žévènement contraire de l'Žévènement $A$ et que $p_{B}(A)$ est la probabilité conditionnelle de $A$ sachant que $B$ est rŽéalisé.

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie 1}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item PréŽciser $p_{I_{n}}\left(I_{n+1}\right)$ et $p_{\overline{I_{n}}}\left(I_{n+1}\right)$ puis calculer $p\left(I_{n+1} \cap I_{n}\right)$ et $p\left(I_{n+1} \cap \overline{I_{n}}\right)$ en fonction de $p_{n}\quad \left(n \in \N^*\right)$.

\item En déduire $p_{n + 1} = - 0,6p_{n} + 0,64$.

\item On considère la suite $(q_{n})$ déŽfinie sur $\N^*$ par : $q_{n} =  p_{n} - 0,4$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $(q_{n})$ est une suite gŽéoméŽtrique.
		\item En déduire $q_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Donner une valeur approchéŽe de $p_{6}$ à $10^{-3}$ près par excès.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie 2}}

\medskip

Le même mois, la sociŽété  de maintenance installe un photocopieur dans 10 entreprises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de proposer un stage de mise à niveau.

On estime que la probabilitŽé d'intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à $0,373$.

Donner, à $10^{-3}$ près par excès, la probabilitŽé qu'il y ait au moins un déplacement du service de maintenance durant ce mois (on supposera que les interventions dans les diffŽérentes entreprises sont des Žévènements indŽépendants).

\bigskip

\textbf{ Exercice 3\hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\psset{xunit=1.5cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.2)(8,0.6)
\psline(0.8,-0.2)(1.6,0.6)
\psline(0,0)(3.262,0.6)
\psline(0,0.368)(8,0.368)
\psline(0,0.44)(8,0.25)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](\n,-0.2)(\n,0.6)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linecolor=orange,linewidth=0.5pt](0,\n)(8,\n)}
\qdisk(1,0){2pt} \qdisk(1.648,0.3031){2pt} \qdisk(2.7183,0.368){2pt}
\qdisk(4.4817,0.3347){2pt}
\psaxes[Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(8,0.6)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.843}{8}{x ln x div}
\uput[ul](1,0){A} \uput[dr](1.648,0.3031){B} \uput[d](2.7183,0.368){C} \uput[d](4.4817,0.3347){D}
\uput[u](7.75,0.26){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](7.75,0.25){(T)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textsc{Partie I}}

\medskip

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ où $f$ est une fonction dŽéfinie et dérivable sur $\R_{+}^{*}$. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisses respectives 1,~$\sqrt{\text{e}}$, e et e$\sqrt{\text{e}}$ ; de plus, A appartient à l'axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à $\mathcal{C}$ au point D.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on ne demande qu'une observation graphique.

\textsl{Avec la prŽécision permise par ce graphique :}

	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation à $5 \times 10^{-2}$ près des coefficients directeurs des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, B, C et D.
		\item PrŽéciser combien la courbe $\mathcal{C}$ admet de tangentes horizontales, de tangentes passant par l'origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l'abscisse du point de contact avec la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Choisir le seul tableau pouvant dŽécrire les variations de la fonction dŽérivŽée de $f$. Justifier ce choix.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(12,2.6)
\psframe(0,0)(3.8,2.6)
\psline(0,2)(3.8,2) \psline(0.8,0)(0.8,2.6)
\uput[u](0.4,2){$x$} \uput[u](1,2){$0$} \uput[u](3.5,2){$+ \infty$}
\psframe(4,0)(7.8,2.6)
\psline(4,2)(7.8,2) \psline(4.8,0)(4.8,2.6)
\uput[u](4.4,2){$x$} \uput[u](5,2){$0$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$}
\psframe(8,0)(11.8,2.6)
\psline(8,2)(11.8,2) \psline(8.8,0)(8.8,2.6)
\uput[u](8.4,2){$x$} \uput[u](9,2){$0$} \uput[u](11.5,2){$+ \infty$}
\uput[u](2.3,2){e} \uput[u](6.3,2){e$\sqrt{\text{e}}$}  
\psline{->}(0.9,0.1)(2.2,1.8) \psline{->}(2.4,1.8)(3.7,0.1) 
\psline{->}(4.9,1.8)(6.3,0.1) \psline{->}(6.5,0.1)(7.7,1.8) 
\psline{->}(8.9,0.1)(11.7,1.8) \end{pspicture}\end{center}

\item On rappelle que $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f$.

On admet que la fonction dŽérivéŽe de $f$ est dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par
		
\[g(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}.\] 

	\begin{enumerate}
		\item ătudier les variations de $g$. Cela corrobore-t-il votre choix dans la
question \textbf{1. c.} ?
		\item Déterminer les limites de $g$ en 0, puis en $+ \infty$.
		\item Calculer $g(1),~ g\left(\text{e}\sqrt{\text{e}}\right)$ ; puis dŽémontrer que l'Žéquation $g(x) = 1$ n'a qu'une seule solution. Quelle observation de la question \textbf{1. b.} a-t-on dŽémontrŽée ?
		\item Expliquer pourquoi $f$ est dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par

\[f(x) = \displaystyle\int_{1}^x \left(\dfrac{1 - \ln t}{t^2}\right)\:\text{d}t.\]

Calculer $f(x)$ à l'aide d'une intégration par parties.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{ Partie II}

\medskip

On Žétudie la fonction $f$ définie sur $\R_{+}^{*}$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Ƀtudier les variations de $f$, prŽéciser ses limites en $0$ puis en $+ \infty$.
\item On cherche à justifier les observations de la question \textbf{I. 1.} concernant les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur Žégal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

DŽémontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente véŽrifie la condition donnŽée, préŽciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les rŽésultats dŽémontrŽés dans la partie \textbf{I. 2. c.} et préŽciser ces points.

\item ƒÉtude de la tangente (T) à la courbe $\mathcal{C}$ au point D (le point D a pour abscisse e$\sqrt{\text{e}}$).
 
	\begin{enumerate}
		\item DŽémontrer qu'une équation de la tangente (T) à $\mathcal{C}$ au point D est
		
\[y = \dfrac{- x + 4 \text{e}\sqrt{\text{e}}}{2\text{e}^3}.\] 

		\item Montrer que le signe de $\left(2\text{e}^3\ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}\right)$ détermine la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à cette tangente.
		\item On note $\varphi$ la fonction dŽéfinie sur $\R_{+}^{*}$ par

\[\varphi(x) = 2\text{e}^3 \ln x + x^2 - 4\text{e}x\sqrt{\text{e}}.\]

À partir des variations de $\varphi$, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente (T).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ Partie III Calcul d'aires}

\medskip

\begin{enumerate}
\item DéŽmontrer que les abscisses des points A, B et C sont les trois premiers termes d'une suite gŽéoméŽtrique dont on prŽécisera la raison. Vérifier que l'abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

\item Soit $x_{0}$ un nombre réel strictement supéŽrieur à 1 et $E$ le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $x_{0}$. On considère les droites $\Delta_{\text{A}},~\Delta_{\text{B}},~\Delta_{\text{C}},~\Delta_{\text{D}}$ et $\Delta_{E}$ parallèles à l'axe des ordonnŽées et passant respectivement par A, B, C, D et $E$.

On note $U_{1}$  l'aire de la partie du plan limitŽe par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{A}}$ et $\Delta_{\text{C}}$  ; $U_{2}$ l'aire de la partie du plan limitŽée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{B}}$ et $\Delta_{\text{D}}$ et $U_{3}$ l'aire de la partie du plan limitŽée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites $\Delta_{\text{C}}$ et $\Delta_{E}$
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $U_{1}$, puis $U_{2}$.
		\item Déterminer $x_{0}$ pour que $U_{1},~U_{2}$ et $U_{3}$ soient les trois premiers termes d'une suite arithmŽétique. Quelle remarque peut-on faire sur l'abscisse du point $E$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}