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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie mars 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$.
 
Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et 

$z_{\text{D}} =  - 2\sqrt{3} + \text{i}( -2 +  \sqrt{3})$.

L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.

\medskip
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D. 
		\item En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon.
	\end{enumerate} 
\item Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$. 
		\item  Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. 
		\item  Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$. 

Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
	\end{enumerate} 
\item Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. On considère les points: 

\[\text{A}(4~;~0~;~0), \quad \text{B}(0 ~;~2~;~0),\quad  \text{C}(0~;~0~;~3)\quad \text{et E}\left(\dfrac{2}{3}~;~- \dfrac{2}{3}~;~\dfrac{1}{9}\right)\] 

On se propose de déterminer de deux façons la distance $\delta_{\text{E}}$ du point E au plan (ABC). 

\medskip

\textbf{RAPPEL :}  Soit ($\mathcal{P}$) un plan d'équation $ax+by+cz+d = 0$ où $a,~b,~ c$ et $d$ sont des nombre réels avec, $a,~ b$ et $c$ non tous nuls et $M$ un point de coordonnées

 $\left(x_{M}~;~y_{M}~;~z_{M}\right)$ la distance $\delta_{\text{M}}$ du point $M$ au plan ($\mathcal{P}$) est égale à :
 
\[\dfrac{\left|ax_{M} + by_{M} + cz_{M} + d \right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A, B et C déterminent bien un plan. 
		\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées (3~;~6~;~4). 
	
Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item Montrer qu'une équation du plan (ABC) est : $3x + 6y + 4z - 12 = 0$. 
		\item Déduire des questions précédentes la distance $\delta_{\text{E}}$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ de représentation paramétrique: 
\[ \left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 1 + t\\
y &=& 2t\\ 
z&=&\dfrac{5}{9}+\dfrac{4}{3}t\\
\end{array}\right. \quad \text{où}~ t \in \R,\] 
est perpendiculaire au plan (ABC) et passe par le point E. 
	\item Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal G du point E sur le plan (ABC). 
	\item Retrouver à partir des coordonnées des points E et G la distance $\delta_{\text{E}}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Dans un stand de tir, un tireur effectue des tirs successifs pour atteindre plusieurs cibles.

La probabilité que la première cible soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$. 

Lorsqu'une cible est atteinte, la probabilité que la suivante le soit est $\dfrac{3}{4}$.
 
Lorsqu'une cible n'est pas atteinte, la probabilité que la suivante soit atteinte est $\dfrac{1}{2}$.
 
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A_{n}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible est atteinte \fg. 
\item[$\bullet~$] $\overline{A_{n}}$ l'évènement : \og la $n$-ième cible n'est pas atteinte \fg. 
\item[$\bullet~$] $a_{n}$ la probabilité de l'évènement $A_{n}$ 
\item[$\bullet~$] $b_{n}$ la probabilité de l'évènement $\overline{A_{n}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner $a_{1}$ et $b_{1}$. 

Calculer $a_{2}$ et $b_{2}$. On pourra utiliser un arbre pondéré. 

\item  Montrer que, pour tout $n \in \N,~ n \geqslant 1 : a_{n+1}  = \dfrac{3}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}b_{n}$, 

puis : $a_{n+1}  = \dfrac{1}{4} a_{n} +\dfrac{1}{2}$
\item  Soit $\left(U_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul, par $U_{n} = a_{n} - \dfrac{2}{3}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
		
On précisera la raison et le premier terme $U_{1}$. 
	\item  En déduire l'expression de $U_{n}$ en fonction de $n$, puis l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$. 
	\item  Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$. 
	\item  Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que : $a_{n} \geqslant  \np{0,6665}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Soit $f$ une fonction définie pour tout nombre réel $x$ par

\[f(x) = (1 + x)\text{e}^{- x}.\]
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f(x)$ sur $\R$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. 
	
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	 
Calculer, pour tout nombre réel $x,\:f'(x)$. 

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2~;~ 5]$. 
	\end{enumerate}
\item On note $\left(I_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[I_{n} =  \int_{-1}^n f(x)\:\text{d}x. \]

Dans cette question, on ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_{n}$ en fonction de $n$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n \in \N : I_{n} \geqslant  0$. 
		\item Montrer que la suite $\left(I_{n}\right)$ est croissante.
	\end{enumerate}	 
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tous réels $a$ et $b$ :
	\[ \int_{a}^b f(x)\:\text{d}x = (-2 -b)\text{e}^{-b} + (2 + a)\text{e}^{-a}.\] 
		\item En déduire l'expression de $I_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} I_{n}$. 
		\item Donner une interprétation graphique de cette limite.
		\end{enumerate} 
\item Déterminer $\alpha \in \R$ tel que : $\displaystyle\int_{-1}^{\alpha} f(x)\:\text{d}x = \text{e}$.
 
Ce calcul intégral correspond-il à un calcul d'aire ? 
\end{enumerate}
\end{document}