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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2002}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Nouvelle--Calédonie mars 2002~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\bigskip

\emph{Les résultats seront donnés, dans cet exercice, sous la forme d'une fraction.}

\medskip

Un club a organisé en l'an 2000, à l'intention de ses adhérents, trois voyages différents.

Deux contrats sont proposés (à l'exclusion de toute autre possibilité)

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un contrat ($\mathcal{A}$) avec l'obligation d'effectuer au plus deux voyages ;
\item un contrat ($\mathcal{B}$) avec l'obligation d'effectuer au moins deux voyages.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\np{1200} membres ont participé à au moins l'un de ces trois voyages et 800
ont choisi le contrat de type ($\mathcal{A}$).

On choisit au hasard un des participants.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement : \og a choisi un contrat de type ($\mathcal{A}$) \fg{} ;
\item $B$ l'évènement : \og a choisi un contrat de type ($\mathcal{B}$) \fg{} ;
\item $V_{1}$ l'évènement : \og a effectué exactement 1 voyage \fg{} ;
\item $V_{2}$ l'évènement : \og a effectué exactement 2 voyages \fg{} ;
\item $V_{3}$ l'évènement : \og a effectué exactement 3 voyages \fg{} ;
\item $p(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ ;
\item $p_{F}(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que $F$ est réalisé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait de plus que plus que $p_{A}\left(V_{1}\right) = \dfrac{3}{4}$ 	et $p_{V_{2}}(A) = \dfrac{2}{3}$.

Pour répondre aux questions suivantes on pourra s'aider de l'arbre ci-dessous (en le complétant au fur et à mesure)

\bigskip

\begin{center}\pstree[treemode=D,nodesep=2.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=r]{$A$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{1}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$V_{2}$}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=r]{$B$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{$V_{2}$}
 \Tdot~[tnpos=r]{$V_{3}$}
 		}
}		
		 \end{center}
		 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p(A)$ et $p(B)$.
		\item Déterminer $p\left(A \cap  V_{1}\right)$ et en déduire que $p\left(V_{1}\right) = \dfrac{1}{2}$.
		\item Déterminer $p\left(A \cap  V_{2}\right)$ et en déduire que $p\left(V_{2}\right) = \dfrac{1}{4}$.
		\item Calculer $p\left(V_{3}\right)$.
		\item Déterminer $p_{B}\left(V_{2}\right)$. À quoi correspond ce nombre ?
	\end{enumerate}
\item On répète 5 fois, de façon indépendante, le choix au hasard d'un  des participants.

Soit $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de membres, parmi les 5 choisis, ayant effectué exactement 2 voyages.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $p(X = 0)$.
		\item Déterminer $p(X \geqslant 1)$.
		\item Déterminer $p(X = 3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats numériques pourront être obtenus à l'aide de la calculatrice sans justification.}

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de départs à la retraite au sein d'une entreprise à effectif stable.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X |}}\hline
Année	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999\\ \hline
$x_{i}$	&	0	&	1	&	2	&	3	&	4	&	5	&	6	& 	7\\ \hline
$y_{i}$	&	50	&	53	&	53	&	58	&	57	&	59	&	63	& 	64\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

$x_{i}$ désigne le rang de l'année ; $y_{i}$ désigne le nombre de départs à la retraite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points $M_{i}(x_{i}~;~ y_{i})$ associé à la série double dans un repère orthogonal ayant pour origine le point M$_{0}(0~;~ 50)$, et pour unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
\item Dans cette question les résultats seront donnés à $10^{-2}$ près par défaut.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$. (Hors programme 2003,)
		\item Peut-on envisager un ajustement affine ? Pourquoi ?
		\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
		\item Tracer cette droite sur le graphique précédent.
	\end{enumerate}
\item En supposant que l'évolution se poursuive de la même façon pour les années suivantes, déterminer une estimation, arrondie à l'entier le plus proche, du nombre de départs à la retraite dans cette entreprise en 2000, puis en 2003.
\item En réalité, 64 employés ont fait valoir en 2000 leur droit à la retraite.

Soit T : estimation théorique obtenue pour l'année 2000.

Soit R : nombre réel donné ci-dessus.

On considère la différence T $-$ R.

Quel pourcentage cette différence représente-t-elle par rapport à l'estimation théorique ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\bigskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté à un repère orthogonal
\Oij.

Unités graphiques $\dfrac{1}{4}$ cm sur l'axe des abscisses et $4$ cm sur l'axe des ordonnées.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I = [0~;~60] par

\[g(x) = \dfrac{x - 8}{10(x + 2)}.\]
 
On désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative relativement au repère \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de la fonction $g$.
		\item Étudier le sens de variations de la fonction $g$.
		\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des ordonnées, puis avec l'axe des abscisses.
		\item Déterminer le signe de la fonction $g$ sur I. 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que $\Gamma$ admet en un point A et un seul une tangente
parallèle à la droite d'équation $y = \dfrac{1}{9}x + 10$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pout tout $x$ de I,~$g(x) = \dfrac{-1}{x + 2} + \dfrac{1}{10}$.
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ sur I.
		\item Calculer le nombre réel $\displaystyle\int_{10}^{20} f(x)\,\text{d}x$. Préciser, en justifiant, ce que représente géométriquement ce nombre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $B$ définie sur I = [0 ; 60] par
  
\[B(x) = 0,1x - \ln (x + 2 ) - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $B$ est dérivable sur I.
		\item Démontrer que petit tout réel $x$ appartenant à I on a $B'(x) = g(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $B$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $B(x) = 0$ admet dans l'intervalle [49~;~50] une solution et une seule. On note $\alpha$ cette solution.  
		\item Déterminer un encadrement à $10^{-1}$ près de $\alpha$. 
		\item Déduire des questions 1. c. et 2. a. que l'équation $B(x) = 0$ admet dans l'intervalle I = [0~;~60] une solution et une seule.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $B$ dans le repère
orthogonal \Oij. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

Une entreprise produit quotidiennement $x$ voitures ($0 \leqslant  x \leqslant  60$) pour un coût total exprimé en millions de francs par
 
 \[C(x) = 0,2x + \ln (x + 2) + 1.\]
 
Chaque voiture produite est vendue, et ce, au prix de \np{300000} francs. On appelle $R(x)$ la recette totale (en millions de francs) résultant de la vente de $x$ voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$.
\item Exprimer le terme $R(x) - C(x)$ en fonction de $x$. Que représente
ce terme ? 
\item Déterminer le nombre minimal de voitures à fabriquer journellement pour rentabiliser l'entreprise.
\item Pour quelle production quotidienne de voitures la perte de l'entreprise est-elle maximale ?
\end{enumerate}
\end{document} 