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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ Exercice 1} \hfill 5 points

\medskip

Un jeu consiste à tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100~\euro~; si exactement deux boules tirées sont rouges, il gagne 15~\euro{} et si une seule est rouge il gagne 4~\euro. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
\item Pour un jeu, la mise est de 10~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-à-dire l'espérance mathématiques est-elle strictement supérieure à 10 ?
\item Pour l'organisateur, le jeu ne s'avérant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  soit augmenter la mise de 1 \euro, donc passer à 11~\euro,
\item  soit diminuer chaque gain de 1 \euro, c'est-à-dire ne gagner que 99 \euro,  14~\euro{}  ou 3~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2}  \hfill 5 points

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le polynôme $P$ de la variable complexe $z$, défini par :

\[P(z) = z^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(74 - 
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre réel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'équation \\$P(z) = 0$.
		\item Trouver deux nombres réels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe  $z$, on ait $P(z) = \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + az + b\right)$
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation 
	
$P(z)=0$.
	\end{enumerate}

\item Le plan complexe est rapporté à  un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unité graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et I d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}~;~z_{\text{B}} = - 7 - 5\text{i}$ et
$z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$.
		\item Déterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre 
O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} =  1 + \text{i}$. Déterminer l'affixe du point
N tel que ABCN soit un parallélogramme.
		\item Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} =  1 + 11\text{i}$ . Calculer $Z = 
\dfrac{z_{\text{A}}  - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}}  - z_{\text{B}}}$ sous forme algébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en déduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2} \hfill  5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de  spécialité}

\medskip

On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.

On pose $S = x + y$ et $P =xy$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.
		\item En déduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux.	
		\item Démontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de parités différentes (l'un pair, l'autre impair).
	\end{enumerate}
\item Déterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
\item Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.
\item Déterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vérifiant les conditions suivantes :

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
a + b &=& 84\\
ab& =& d^3 \\
\end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a ; b)\]

(On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Problème} \hfill 10 points

Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté à   un repère orthonormal direct  \Oij. (Unités graphiques : 2 cm).

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) =  (3 + x)\text{e}^{-\frac{x}{2}}.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$, puis en $+ \infty$.
\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
\item Construire la courbe $(\Gamma)$ représentative de $f$ dans \Oij.
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer I = 
$\displaystyle\int_{-3}^0  x\text{e}^{-\frac{x}{2}}\: \text{d}x$ et en déduire l'aire, en unités d'aire, du domaine défini par les couples $(x,~y)$ tels que \\$0 \leqslant y \leqslant f(x)$ et $x \leqslant 0$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 3$ admet deux solutions dans $\R$. 		
Soit $\alpha$ la solution non nulle, montrer que : $-2 < \alpha < - \dfrac{3}{2}$.
		\item Plus généralement, déterminer \textbf{graphiquement} suivant les valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = 
3\text{e}^{\frac{x}{2}} - 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f(x) = 3$ si et seulement si 
$\varphi(x) = x$
\item  Soit $\varphi'$ et $\varphi''(x)$ les dérivées première et seconde 
de la fonction $\varphi$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout réel $x,\:\varphi'(x)$ et $\varphi''(x)$. Justifier que 
		$\varphi' (\alpha) = \dfrac{\alpha +3}{2}$.
		\item Étudier le sens de variation de $\varphi'$, puis celui de $\varphi$.
	\end{enumerate}
On se place désormais dans l'intervalle I = $[-2~;~\alpha]$.
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant  I ;
	\begin{enumerate}
		\item $\varphi(x)$ appartient  à I.
		\item $\dfrac{1}{2} \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{3}{4}$
		\item En déduire, à l'aide d'une intégration, que pour tout $x$ de l'intervalle I, on a :

\[0  \leqslant \dfrac{1}{2}(\alpha - x) \leqslant \varphi(\alpha) - 
\varphi(x) \leqslant \dfrac{3}{4}(\alpha - x).\]

	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie sur $\N$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} 	& = & - 2\\
u_{n+1} & = & \varphi\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n,\:u_{n}$  appartient à l'intervalle I.
		\item Justifier que, pour tout entier $n$,

\[0 \leqslant \alpha - u_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} \left(\alpha - 
u_{n}\right) \qquad \text{puis que}\qquad 0 \leqslant \alpha - u_{n} 
\leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n.\]

		\item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite.
		\item Déterminer le plus petit entier $p$ tel que : 
$\left(\dfrac{3}{4}\right)^p \leqslant 10^{-2}$.

Donner une approximation décimale  $10^{-2}$ près de $u_p$, à l'aide d'une calculatrice, puis une valeur approchée de $\alpha$ à $2 \times 10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{document}