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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2002}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2002}}\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1} \hfill 5 points

\medskip

Un jeu consiste ˆà tirer simultanément trois boules d'une urne contenant six boules blanches et quatre boules rouges.

On suppose que tous les tirages sont Žéquiprobables.

Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100~\euro~; si exactement deux boules tirŽées sont rouges, il gagne 15~\euro{} et si une seule est rouge il gagne 4~\euro. Dans tous les autre cas, il ne gagne rien.

Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d'un jeu.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilitŽé de la variable alŽéatoire $X$.
\item Pour un jeu, la mise est de 10~\euro. Le jeu est-il favorable au joueur, c'est-àˆ-dire l'espérance mathŽématiques est-elle strictement supérieure ˆà 10 ?
\item Pour l'organisateur, le jeu ne s'avéŽrant pas suffisamment rentable, celui-ci envisage deux solutions :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item soit augmenter la mise de 1 \euro, donc passer ˆà 11~\euro,
\item soit diminuer chaque gain de 1 \euro, c'est-àˆ-dire ne gagner que 99 \euro, 14~\euro{} ou 3~\euro.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Quelle est la solution la plus rentable pour l'organisateur ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2} \hfill 5 points

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialitŽé}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le polynô™me $P$ de la variable complexe $z$, dŽéfini par :

\[P(z) = z^3 + \left(14 - \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + \left(74 - 
14\text{i}\sqrt{2}\right)z - 74\text{i}\sqrt{2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item DéŽterminer le nombre rŽéel $y$ tel que i$y$ soit solution de l'Žéquation \\$P(z) = 0$.
		\item Trouver deux nombres rŽéels $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe  $z$, on ait $P(z) = \left(z - \text{i}\sqrt{2}\right)\left(z^2 + az + b\right)$
		\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'Žéquation 

$P(z)=0$.
	\end{enumerate}

\item Le plan complexe est rapportŽé à ˆ un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra 1 cm pour unitŽé graphique.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et I d'affixes respectives 
$z_{\text{A}} = - 7 + 5\text{i}~;~z_{\text{B}} = - 7 - 5\text{i}$ et
$z_{\text{I}} = \text{i}\sqrt{2}$.
		\item DŽéterminer l'affixe de l'image du point I par la rotation de centre 
O et d'angle $- \dfrac{\pi}{4}$.
		\item Placer le point C d'affixe $z_{\text{C}} = 1 + \text{i}$. DéŽterminer l'affixe du point N tel que ABCN soit un parallélogramme.
		\item Placer le point D d'affixe $z_{\text{D}} = 1 + 11\text{i}$ . Calculer $Z = 
\dfrac{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{D}}  - z_{\text{B}}}$ sous forme algŽébrique puis sous forme trigonométrique. Justifier que les droites (AC) et (BD) sont perpendiculaires et en dŽéduire la nature du quadrilatère ABCD.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}\hfill 5 points

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitŽé}

\medskip

On considère deux entiers naturels, non nuls, $x$ et $y$ premiers entre eux.

On pose $S = x + y$ et $P =xy$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item DŽémontrer que $x$ et $S$ sont premiers entre eux, de même que $y$ et $S$.
		\item En dŽéduire que $S = x+y$ et $P =xy$ sont premiers entre eux.
		\item DŽémontrer que les nombres $S$ et $P$ sont de paritŽés diffŽérentes (l'un pair, l'autre impair).
	\end{enumerate}
\item DŽéterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
\item Trouver les nombres premiers entre eux $x$ et $y$ tels que : $SP = 84$.
\item DéŽterminer les deux entiers naturels $a$ et $b$ vŽérifiant les conditions suivantes :

\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
a + b &=& 84\\
ab& =& d^3\\
\end{array}\right. ~\text{avec}~ d = \text{pgcd}(a~;~b)\]

(On pourra poser $a = dx$ et $b = dy$ avec $x$ et $y$ premiers entre eux)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Problème} \hfill 10 points

Le plan $\mathcal{P}$ est rapportŽé à  un repère orthonormal direct  \Oij. (UnitŽés graphiques : 2 cm).

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ dŽéfinie sur $\R$ par

\[f(x) =  (3 + x)\text{e}^{-\frac{x}{2}}.\]

\begin{enumerate}
\item DéŽterminer les limites de $f$ en $- \infty$, puis en $+ \infty$.
\item ătudier les variations de $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations.
\item Construire la courbe $(\Gamma)$ reprŽésentative de $f$ dans \Oij.
\item À l'aide d'une intŽégration par parties, calculer I = 
$\displaystyle\int_{-3}^0  x\text{e}^{-\frac{x}{2}}\: \text{d}x$ et en dŽéduire l'aire, en unitŽés d'aire, du domaine dŽéfini par les couples $(x,~y)$ tels que \\$0 \leqslant y \leqslant f(x)$ et $x \leqslant 0$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item DéŽmontrer que l'Žéquation $f(x) = 3$ admet deux solutions dans $\R$.

Soit $\alpha$ la solution non nulle, montrer que : $-2 < \alpha < -\dfrac{3}{2}$.
		\item Plus gŽénŽéralement, déŽterminer \textbf{graphiquement} suivant les valeurs du nombre rŽéel $m$, le nombre de solutions de l'Žéquation $f(x) = m$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ dŽéfinie sur $\R$ par $\varphi(x) = 
3\text{e}^{\frac{x}{2}} - 3$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item DŽémontrer que $f(x) = 3$ si et seulement si 
$\varphi(x) = x$
\item Soit $\varphi'$ et $\varphi''(x)$ les dŽérivŽées première et seconde 
de la fonction $\varphi$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout rŽéel $x,\:\varphi'(x)$ et $\varphi''(x)$. Justifier que 
		$\varphi' (\alpha) = \dfrac{\alpha +3}{2}$.
		\item ătudier le sens de variation de $\varphi'$, puis celui de $\varphi$.
	\end{enumerate}
On se place dŽésormais dans l'intervalle I = $[-2~;~\alpha]$.
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant ˆI ;
	\begin{enumerate}
		\item $\varphi(x)$ appartient ˆà I.
		\item $\dfrac{1}{2} \leqslant \varphi'(x) \leqslant \dfrac{3}{4}$
		\item En dŽéduire, àˆ l'aide d'une intéŽgration, que pour tout $x$ de l'intervalle I, on a :

\[0  \leqslant \dfrac{1}{2}(\alpha - x) \leqslant \varphi(\alpha) - 
\varphi(x) \leqslant \dfrac{3}{4}(\alpha - x).\]

	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ dŽéfinie sur $\N$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{0} & = & - 2\\
u_{n+1} & = & \varphi\left(u_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item DŽémontrer par rŽécurrence que, pour tout entier $n,\:u_{n}$  appartient ˆà l'intervalle I.
		\item Justifier que, pour tout entier $n$,

\[0 \leqslant \alpha - u_{n+1} \leqslant \dfrac{3}{4} \left(\alpha - 
u_{n}\right) \qquad \text{puis que}\qquad 0 \leqslant \alpha - u_{n} 
\leqslant \left(\dfrac{3}{4}\right)^n.\]

		\item En dŽéduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et donner sa limite.
		\item DéŽterminer le plus petit entier $p$ tel que : 
$\left(\dfrac{3}{4}\right)^p \leqslant 10^{-2}$.

Donner une approximation dŽécimale ˆ $10^{-2}$ près de $u_p$, ˆà l'aide d'une calculatrice, puis une valeur approchŽée de $\alpha$ àˆ $2 \times 10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}