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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\17 novembre 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les trois parties \textbf{A, B} et \textbf{C} sont indépendantes}

\medskip 

Une fabrique de desserts glacés dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des cônes de glace. 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Les cônes de glace sont emballés individuellement puis conditionnés en lots de \np{2000} pour la vente en gros. 

On considère que la probabilité qu'un cône présente un défaut quelconque avant son conditionnement en gros est égale à $0,003$. 

On nomme $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de \np{2000}~cônes prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de cônes défectueux présents dans ce lot. 

On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissent être supposés indépendants les uns des autres.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi. \index{loi binomiale}
\item Si un client reçoit un lot contenant au moins 12~cônes défectueux, l'entreprise procède alors à un échange de celui-ci. 

Déterminer la probabilité qu'un lot ne soit pas échangé ; le résultat sera arrondi au millième. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} 

\medskip 

Chaque cône est rempli avec de la glace à la vanille. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque cône, associe la masse (exprimée en grammes) de crème glacée qu'il contient. 

On suppose que $Y$ suit une loi normale $\mathcal{N}\left(110~;~\sigma^2\right)$, d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma$.\index{loi normale} 

Une glace est considérée comme commercialisable lorsque la masse de crème glacée qu'elle contient appartient à l'intervalle [104~;~116]. 

Déterminer une valeur approchée à $10^{-1}$ près du paramètre $\sigma$ telle que la probabilité de l'évènement \og la glace est commercialisable \fg{} soit égale à $0,98$. 

\bigskip

\textbf{Partie C} 

\medskip 

Une étude réalisée en l'an 2000 a permis de montrer que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces était de 84\,\%. 

En 2010, sur $900$ personnes interrogées, $795$ d'entre elles déclarent consommer des glaces. 

Peut-on affirmer, au niveau de confiance de 95\,\% et à partir de l'étude de cet échantillon, que le pourcentage de Français consommant régulièrement des glaces est resté stable entre les années 2000 et 2010 ? \index{intervalle de confiance}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip 

\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.} 

\medskip 

\emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} 

\medskip 

Dans les questions \textbf{1.} et \textbf{2.}, le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv. 

On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1 :}\index{complexes} 

Le point d'affixe $(-1 + \text{i})^{10}$ est situé sur l'axe imaginaire. 
\item \textbf{Affirmation 2 :} 

Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation 

\[z - \overline{z} +2 - 4\text{i} = 0\] 

admet une solution unique. 
\item \textbf{Affirmation 3 :} 

$\ln \left(\sqrt{\text{e}^7} \right) + \dfrac{\ln \left(\text{e}^9 \right)}{\ln \left(\text{e}^2 \right)} = \dfrac{\text{e}^{\ln 2 + \ln 3}}{\text{e}^{\ln 3 - \ln 4}}$ 
\item \textbf{Affirmation 4 :} 

$\displaystyle\int_0^{\ln 3} \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 2}\:\text{d}x = - \ln \left(\dfrac{3}{5}\right)$ 
\item \textbf{Affirmation 5 :} 

L'équation $\ln(x - 1) - \ln(x + 2) = \ln 4$ admet une solution unique dans $\R$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk. \index{géométrie dans l'espace}

On donne les points A$(1~;~0~;~- 1)$, B$(1~;~2~;~3)$, C$(-5~;~5~;~0)$ et D$(11~;~1~;~-2)$. 

Les points I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. 

Le point K est défini par $\vect{\text{BK}} = \dfrac{1}{3}\vect{\text{BC}}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des points I, J et K. 
		\item Démontrer que les points I, J et K définissent un plan. 
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (3~;~1~;~4) est un vecteur normal au plan (IJK).\index{vecteur normal} 

En déduire une équation cartésienne de ce plan.\index{equation de plan@équation de plan} 
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $3x + y + 4z - 8 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (BD).\index{equation parametrique de droite@équation paramétrique de droite} 
		\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (BD) sont sécants et donner les coordonnées de L, point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (BD). 
		\item Le point L est-il le symétrique du point D par rapport au point B ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi renseignement de spécialité}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = 5 - \dfrac{4}{x + 2}.\] 

On admettra que $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 

On a tracé en \textbf{annexe 1}  dans un repère orthonormé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $f$ est croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Résoudre l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On note $\alpha$ la solution. 

On donnera la valeur exacte de $\alpha$ puis on en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.\index{suite} 

Sur la figure de \textbf{annexe 1}, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $M_0, M_1$ et $M_2$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_0,\: u_1$ et $u_2$. 

Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel $n$,
		
		 \[0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha\] 

où $\alpha$ est le réel défini dans la question 2. 
		\item Peut-on affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente ? On justifiera la réponse.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(S_n\right)$ par 

\[S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $S_0, \:S_1$ et $S_2$. Donner une valeur approchée des résultats à $10^{-2}$ près. 
		\item Compléter l'algorithme donné en \textbf{annexe 2}  pour qu'il affiche la somme $S_n$ pour la valeur de l'entier $n$ demandée à l'utilisateur. 
		\item Montrer que la suite $\left(S_n\right)$ diverge vers $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère l'algorithme suivant, où $A$ et $B$ sont des entiers naturels tels que $A < B$ :\index{algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrées :}& $A$ et $B$ entiers naturels tels que $A < B$\\
&\\ 
\textbf{Variables :}& $D$ est un entier\\ 
&Les variables d'entrées $A$ et $B$ \\
&\\
\textbf{Traitement :}&\\ 
&Affecter à $D$ la valeur de $B - A$\\ 
&\\
&Tant que $D > 0$\\ 
&$B$ prend la valeur de $A$\\ 
&$A$ prend la valeur de $D$\\ 
&\hspace{0,5cm}Si $B > A$ Alors\\ 
&\hspace{1cm}$D$ prend la valeur de $B - A$\\ 
&\hspace{0,5cm} Sinon\\ 
&\hspace{1cm}$D$ prend la valeur de $A - B$\\ 
&\hspace{0,5cm}Fin Si\\ 
&Fin Tant que\\ 
&\\
\textbf{Sortie :} &Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre $A = 12$ et $B = 14$. 

En remplissant le tableau donné en \textbf{annexe}, déterminer la valeur affichée par l'algorithme. 
\item Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres $A$ et $B$. 

En entrant $A = 221$ et $B = 331$, l'algorithme affiche la valeur 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il existe des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation 

		\[(\text{E})\qquad  221x - 331y = 1.\]
				 
		\item Vérifier que le couple $(3~;~2)$ est une solution de l'équation (E). 

En déduire l'ensemble des couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). 
	\end{enumerate}
\item On considère les suites d'entiers naturels $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par 

\[u_n = 2 + 221n \quad \text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l}
 v_0& =& 3\\ 
v_{n+1}&=& v_n + 331
\end{array}\right.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item Déterminer tous les couples d'entiers naturels $(p~;~q)$ tels que 
		
		$u_p = v_q,\quad 0 \leqslant p \leqslant  500$\quad  et \quad $0 \leqslant q \leqslant  500$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 1 de l'exercice 4 à rendre avec la copie}

\bigskip 

\textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.35cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(0,0)(8.1,7.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline[linecolor=cyan](7.2,7.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{8.1}{5 4 x 2 add div sub}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe 2 de l'exercice 4 à rendre avec la copie}

\bigskip 

\textbf{réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\vspace{2cm}

\renewcommand\arraystretch{2}

 %%% <= terminer le paragraphe
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\textbf{Entrée :}&$n$ un entier naturel \\
\textbf{Variables :}		&$u$ et $s$ sont des variables réelles\\ 
							&$n$ et $i$ sont des variables entières\\
\textbf{Initialisation :}	& $u$ prend la valeur 1 \\
							&$s$ prend la valeur $u$ \\
							&$i$ prend la valeur 0\\ 
							&Demander la valeur de $n$ \\
\textbf{Traitement :}& Tant que \ldots\\ 
							&Affecter à $i$ la valeur $i + 1$\\
							&Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ 
							&Affecter à $s$ la valeur \ldots\\ 
							&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}			&Afficher $s$.\\ \hline
\end{tabular}

\end{center}

\newpage
  
\begin{center}

\textbf{Annexe de l'exercice 4 à rendre avec la copie} 

\bigskip

\textbf{réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$A$ &  $B$&   $D$\\ \hline   
12&   14& \\ \hline    
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}