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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S (obligatoire)}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2005}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire) Nouvelle Calédonie~\decofourright \\[5pt] mars 2005}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose trois affirmations. Pour chacune d'elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en cochant la case correspondante. Aucune justification n'est demandée.

\smallskip

\textsl{Les réponses  à cet exercice sont  à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse.}

\smallskip 
Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu'une question est traitée correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes).  2 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point.
 
L'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.

Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à zéro.
 
Dans l'exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|*{4}{>{\footnotesize}l|}}\hline
 &  \multirow{3}{4cm}{Pour tout $n$ entier naturel non nul, pour tout réel $\theta,~\left(\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^n$ est égal à :}&$\text{e}^{\text{i}n\theta}$ & ${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai\\\cline{3-4}
Q1 & & $\cos \left(\theta^n\right) + \text{i}\sin \left(\theta^n\right)$&${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai	\\\cline{3-4}
 & & $ \cos (n\theta) + \text{i} \sin(n\theta)$ & ${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai\\ \hline
 & \multirow{3}{5,2cm}{La partie imaginaire du nombre $z$ est égale  à :} &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{z +\overline{z}}{2}$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai  \\\cline{3-4}
Q2 & &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\dfrac{z - \overline{z}}{2\text{i}}$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4}
 & & \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\dfrac{z - \overline{z}}{2}$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai  \\ \hline
	&  \multirow{3}{5,2cm}{Soit $z$ un  complexe tel que $z = x  + \text{i}y$   ($x$ et $y$ réels). Si $z$ est un imaginaire pur, alors $|z|^2$  est égal  à :} &	$y^2$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\ \cline{3-4}
Q3 & & $- y^2$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\ \cline{3-4}
 & & $- z^2$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\ \hline
 & \multirow{3}{5,2cm}{A, B et C sont des points d'affixes respectives $a,~b$ et $c$   telles que $\dfrac{b - a}{c - a} = \text{i}\sqrt{3}$, alors :} & BC =  2 AC &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4}
 Q4& &\rule[-3mm]{0mm}{8mm} $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,~k \in \Z$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\\cline{3-4}
 & & $\vect{\text{CA}}~\cdot~\vect{\text{CB}} = \text{CA}^2$ &${\huge \Box}$	Faux	${\huge \Box}$ Vrai \\ \hline
\end{tabular}\end{center}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique.

Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d'être contrôlé est égale  à $p$.

Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros.

Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis  à cette étude.

Soit $X_{i}$ la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au $i$-ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit $X$ la variable aléatoire définie par 

$X = X_{1} +  X_{2} +  X_{3} + \cdots + X_{40}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Dans cette partie on suppose que $p = \dfrac{1}{20}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
		\item Calculer les probabilités $P(X= 0),~ P(X = 1)$ et $P(X =  2)$.
		\item Calculer  à $10^{-4}$ près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois.
	\end{enumerate}
\item Soit $Z_{i}$  la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur.

Justifier l'égalité $Z = 400 - 100 X$ puis calculer l'espérance mathématique de $Z$ pour $p = \dfrac{1}{5}$.
\item On désire maintenant déterminer $p$ afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure  à $99\,\%$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $P(X \leqslant 2) = (1 - p)^{38}\left(741p^2 + 38p + 1\right)$.
		\item Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 1] par : $f(x)= (1 - x)^{38}\left(741x^2 + 38x + 1\right)$.
	Montrer que $f$ est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu'il existe un unique réel $x_{0}$ appartenant  à l'intervalle [0 ; 1] tel que $f(x_{0}) = 0,01$. Déterminer l'entier naturel $n$ tel que 
	
$\dfrac{n}{100}<   x_{0} < \dfrac{n + 1}{100}$.
		\item En déduire la valeur minimale qu'il faut attribuer  à $p$ afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale  à $99\,\%$.

(On exprimera $p$ en fonction de $x_{0}$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté  à un repère orthonormal \Oij.

Soit $f$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = x^2 - 2,2x + 2,2\ln (x + 1).\]

\begin{enumerate}
\item  Faire apparaître sur l'écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre $- 2\leqslant x \leqslant 4,\quad  -5 \leqslant y \leqslant  5$.

Reproduire sur la copie l'allure de la courbe obtenue grâce  à la calculatrice.
\item D'après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
	\begin{enumerate}
		\item Sur les variations de la fonction $f$ ?
		\item Sur le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ ?
	\end{enumerate}
\item On se propose maintenant d'étudier la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$
		\item Étudier les limites de la fonction $f$ en $-1$ et en $+\infty$, puis dresser le tableau de variations de $f$. 
		\item Déduire de cette étude, en précisant le raisonnement, le nombre de solutions de l'équation $f(x) =  0$.
		\item Les résultats aux questions \textbf{3. a.} et \textbf{3. c.} confirment-ils les conjectures émises  à la question \textbf{2.} ?
	\end{enumerate}
\item On veut représenter, sur l'écran d'une calculatrice, la courbe représentative de la
fonction $f$ sur l'intervalle $[- 0,1~;~0,2]$, de façon  à visualiser les résultats de la question \textbf{3.}.
	\begin{enumerate}
		\item Quelles valeurs extrêmes de l'ordonnée $y$ proposez-vous pour mettre en évidence les résultats de la question \textbf{3. c.} dans la fenêtre de votre calculatrice ?
		\item À l'aide de la calculatrice déterminer une valeur approchée par défaut à $10^{-2}$ près de la plus grande solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la fonction définie sur $]-1~;~+ \infty[$
par	

\[F(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 1,1x^2 - 2,2x + 2,2(x + 1)\ln (x+1).\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]-1~;~+ \infty[$.
		\item Interpréter graphiquement l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \:\text{d}x$.
		\item Calculer $\displaystyle\int_{0}^{\alpha} f(x) \:\text{d}x$ et exprimer le résultat sous la forme $b\alpha^3 + c\alpha^2 \: (b$ et $c$ réels).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie  A}

\medskip

Étant donnés deux points distincts A$_{0}$ et B$_{0}$ d'une droite, on définit les points :

A$_{1}$ milieu du segment [A$_{0}$ B$_{0}$] et B$_{1}$ barycentre de $\left\{\left(\text{A}_{0},~1\right)~;~\left(\text{B}_{0},~2\right)\right\}$.

Puis, pour tout entier naturel $n,~ A_{n+1}$ milieu du segment $[A_{n}B_{n}]$ et $B_{n+1}$ barycentre de $\left\{\left(A_{n},~1\right)~;~\left(B_{n},~2\right)\right\}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer les points A$_{1}$ , B$_{1}$,  A$_{2}$ et B$_{2}$ pour A$_{0}$B$_{0}$= 12 cm.

Quelle conjecture peut-on faire sur les points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ devient très grand ?

\item On munit la droite (A$_{0}$B$_{0}$) du repère $\left(\text{A}_{0}~ ;~\vect{\imath}\right)$ avec $\vect{\imath} = \dfrac{1}{12}\vect{\text{A}_{0}\text{B}_{0}}$. Soit $u_{n}$ et $v_{n}$ les  abscisses respectives des points $A_{n}$ et $B_{n}$. Justifier que pour tout entier naturel $n$ strictement positif, on a

\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\]

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} =  0~ ;~v_{0} = 12~;$

\[u_{n+1} = \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\quad \text{et} \quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 2v_{n}}{3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(w_{n}\right)$ définie par $w_{n } = v_{n} - u_{n}$ est une suite géométrique convergente et que tous ses termes sont positifs.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante puis que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
\item Déduire des deux questions précédentes que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes et ont la même limite.
\item On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} =  2u_{n} + 3v_{n}$.

Montrer qu'elle est constante.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À partir des résultats obtenus dans les \textbf{parties A et B}, préciser la position limite des points $A_{n}$ et $B_{n}$ quand $n$ tend vers plus l'infini.
\end{document}