%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{tabularx} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie novembre 2007}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \medskip {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2007~\decofourright}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.} Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine O. \medskip \begin{enumerate} \item Une solution de l'équation $2z + \overline{z} = 9 + \text{i}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $3$& \textbf{b.~~} i& \textbf{c.~~} $3 + \text{i}$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe ; $|z + \text{i}|$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $|z| + 1$& \textbf{b.~~} $|z - 1|$& \textbf{c.~~} $\left|\text{i}\overline{z} + 1\right|$\\ \end{tabularx} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul d'argument $\theta$. Un argument de $\dfrac{-1 + \text{i}\sqrt{3}}{\overline{z}}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $- \dfrac{\pi}{3} + \theta$& \textbf{b.~~} $ \dfrac{2\pi}{3} + \theta$& \textbf{c.~~} $ \dfrac{2\pi}{3} - \theta$\ \end{tabularx} \item Soit $n$ un entier naturel. Le complexe $\left(\sqrt{3} + \text{i} \right)^n$ est un imaginaire pur si et seulement si : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $n = 3$& \textbf{b.~~}$n = 6k + 3$, avec $k$ relatif& \textbf{c.~~} $n = 6k$ avec $k$ relatif\\ \end{tabularx} \item Soient A et B deux points d'affixe respective i et $-1$. l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z - \text{i}| = |z + 1|$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} la droite (AB)& \textbf{b.~~} le cercle de diamètre [AB]& \textbf{c.~~} la droite perpendiculaire à (AB) passant par O\\ \end{tabularx} \item Soit $\Omega$ le point d'affixe $1 - \text{i}$. L'ensemble des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ vérifiant $|z - 1 + \text{i}| = |3 - 4\text{i}|$ a pour équation : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $y = -x + 1$& \textbf{b.~~} $(x - 1)^2 + y^2 = \sqrt{5}$& \textbf{c.~~} $z = 1 - \text{i} + 5\text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ réel\\ \end{tabularx} \item Soient A et B les points d'affixes respectives $4$ et $3\text{i}.$ L'affixe du point C tel que le triangle ABC soit isocèle avec $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}}\right) = \dfrac{\pi}{2}$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $1 - 4\text{i}$& \textbf{b.~~} $-3\text{i}$& \textbf{c.~~} $7 + 4\text{i}$\\ \end{tabularx} \item L'ensemble des solutions dans $\C$ de l'équation $\dfrac{z - 2}{z - 1} = z$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} \textbf{a.~~} $\{1 - \text{i}\}$& \textbf{b.~~} L'ensemble vide& \textbf{c.~~} $\{1 - \text{i}~;~1 + \text{i}\}$\\ \end{tabularx} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Un responsable de magasin achète des composants électroniques auprès de deux fournisseurs dans les proportions suivantes : 25\,\% au premier fournisseur et 75\,\% au second. La proportion de composants défectueux est de 3\,\% chez le premier fournisseur et de 2\,\% chez le second. On note : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item $D$ l'évènement \og le composant est défectueux \fg ; \item $F_{1}$ l'évènement \og le composant provient du premier fournisseur \fg ; \item $F_{2}$ l'évènement \og le composant provient du second fournisseur \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dessiner un arbre pondéré. \item Calculer $p\left(D \cap F_{1} \right)$, puis démontrer que $p(D) = \np{0,0225}$. \item Sachant qu'un composant est défectueux, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier fournisseur ? \end{enumerate} \emph{Dans toute la suite de l'exercice, on donnera une valeur approchée des résultats à $10^{-3}$ près.} \item Le responsable commande 20 composants. Quelle est la probabilité qu'au moins deux d'entre eux soient défectueux ? \item La durée de vie de l'un de ces composants est une variable aléatoire notée $X$ qui suit une loi de durée de vie sans vieillissement ou loi exponentielle de paramètre $\lambda$, avec $\lambda$ réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Sachant que $p(X > 5) = 0,325$, déterminer $\lambda$. Pour les questions suivantes, on prendra $\lambda = 0,225$. \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure moins de 8~ans ? plus de 8~ans ? \item Quelle est la probabilité qu'un composant dure plus de 8~ans sachant qu'il a déjà duré plus de 3~ans ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A : question de cours} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $f$ une fonction réelle définie sur $[a~;~+ \infty[$. Compléter la phrase suivante : \og On dit que $f$ admet une limite finie $\ell$ en $+ \infty$ si \ldots \fg \item Démontrer le théorème \og des gendarmes \fg{}: soient $f,~g$ et $h$ trois fonctions définies sur $[a~;~+ \infty[$ et $\ell$ un nombre réel. Si $g$ et $h$ ont pour limite commune $\ell$ quand $x$ tend vers $+ \infty$, et si pour tout $x$ assez grand $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x)$, alors la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ est égale à $\ell$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^x - x - 1\] et soit $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite $(D)$ d'équation $y = - x - 1$ est asymptote à $(\mathcal{C})$. On a représenté sur la feuille annexe la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(D)$. \begin{enumerate} \item Soit $a$ un nombre réel. Écrire, en fonction de $a$, une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $a$. \item Cette tangente $(T)$ coupe la droite $(D)$ au point $N$ d'abscisse $b$. Vérifier que $b - a = - 1$. \item En déduire une construction, à effectuer sur la feuille annexe, de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ au point $M$ d'abscisse $1,5$. On fera apparaître le point $N$ correspondant. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement le signe de $f$. \item En déduire pour tout entier naturel non nul $n$ les inégalités suivantes : \[(1) \quad \text{e}^{\frac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}\qquad (2) \quad \text{e}^{\frac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}.\] \item En utilisant l'inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ \[\left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \text{e}.\] \item En utilisant l'inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ \[\text{e} \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}.\] \item Déduire des questions précédentes un encadrement de \[ \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n, \] puis sa limite en $+ \infty$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de l'exercice est d'étudier quelques propriétés de ce tétraèdre. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC) ? \item Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontrera de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis. \item Que représente le point H pour le triangle ABC ? \end{enumerate} \item L'espace est maintenant muni d'un repère orthonormé \Oijk. On considère les points A(1~;~0~;~0), B(0~;~2~;~0) et C(0~;~0~;~3). \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par O et orthogonale au plan (ABC). \item Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées $\left(\dfrac{36}{49}~;~\dfrac{18}{49}~;~\dfrac{12}{49}\right)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la distance du point O au plan (ABC). \item Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l'aire du triangle ABC. \item Vérifier que le carré de l'aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{10}$ par $11$ ? Justifier. \item Quel est le reste de la division euclidienne de $6^{4}$ par $5$ ? Justifier. \item En déduire que $6^{40} \equiv 1\:[11]$ et que $6^{40} \equiv 1\:[5]$. \item Démontrer que $6^{40} - 1$ est divisible par $55$. \end{enumerate} \item Dans cette question $x$ et $y$ désignent des entiers relatifs. \begin{enumerate} \item Montrer que l'équation \[(E) \qquad 65x - 40y = 1\] n'a pas de solution. \item Montrer que l'équation \[ (E') \qquad 17x - 40y = 1\] admet au moins une solution. \item Déterminer à l'aide de l'algorithme d'Euclide un couple d'entiers relatifs solution de l'équation $\left(E'\right)$. \item Résoudre l'équation $\left(E'\right)$. En déduire qu'il existe un unique naturel $x_{0}$ inférieur à $40$ tel que $17x_{0}\equiv 1 \quad [40]$. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $a$, démontrer que si $a^{17} \equiv b \quad [55]$ et si $a^{40} \equiv 1 \quad [55]$, alors $b^{33} \equiv a \quad [55]$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)} \bigskip \psset{unit=1.714cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(3,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](0,0)(-4,-4)(3,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(3,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{2.222}{2.71828 x exp x sub 1 sub} \psline[linewidth=1.25pt](-4,3)(3,-4)\uput[dr](0,0){O} \uput[dr](1.1,1){\blue $(\mathcal{C})$}\uput[ur](2,-3){$(D)$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}