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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 2001}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Nouvelle-Calédonie décembre 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la dépense de consommation finale des ménages
français en biens d'équipement pour les années 1993 à 1998.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
Année 					& 1993 	&1994 	&1995 	&1996 	&1997 	&1998 \\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Dépense $y_i$ en milliards
 de francs				&34,6	&35,8	&18,8 	&40,5 	&41,5 	&46,1\\ \hline
\multicolumn{7}{r}{\tiny (Source INSEE, Comptes Nationaux)}
\end{tabular} 
\end{center}

\textsl{Le détail des calculs statistiques, à effectuer à la machine, n'est
 pas demandé.}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ en prenant comme unités graphiques : 2~cm pour 1 rang en abscisses et 1~cm pour 1~milliard de francs en ordonnées, en faisant débuter la graduation à 30 sur l'axe des ordonnées.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et placer ce point sur le graphique.

On veut réaliser un ajustement affine de ce nuage de points afin d'obtenir une
prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens
d'équipement.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on utilise la méthode d'ajustement dite de la droite de Mayer.
	\begin{enumerate} 
		\item On désigne par $G_1$ le point moyen des trois premiers points ($M_1$, $M_2$ et $M_3$) du nuage et par $G_2$ le point moyen des trois derniers points ($M_4$, $M_5$ et $M_6$) du nuage.

Calculer les coordonnées de $G_1$ et $G_2$ puis placer ces deux points sur le graphique.
		\item Démontrer que l'équation réduite de la droite $\left(G_1G_2\right)$ est $y = 2,1x + 32,2$.

Tracer $\left(G_1G_2\right)$ sur le graphique.
		\item Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite $\left(G_1G_2\right)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on utilise la méthode des moindres carrés.
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $D$ la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés ; elle a pour équation réduite $y = 2,18x + b$.

Justifier que $b = 31,92$ en utilisant le point moyen G.

Tracer $D$ sur le graphique.
		\item Calculer la prévision pour l'année 1999 de la dépense des ménages français en biens d'équipement obtenue en utilisant la droite $D$.
	\end{enumerate}
\item Le montant réel de la dépense pour l'année 1999 a été de 48,8 milliards de francs.

Commenter, au vu de cette donnée, les prévisions obtenues par les deux
méthodes d'ajustement envisagées précédemment.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Une entreprise fabrique un article qui doit répondre à des normes précises. On
considère que $8\,\%$ des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un
test de contrôle en fin de fabrication est censé repérer les articles non conformes.
 Cependant le test comporte une certaine marge d'erreur ; une étude a établi que

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~5\,\%$ des articles conformes aux normes sont refusés par le test ;

$\bullet~10\,\%$ des articles non conformes aux normes sont acceptés par le test.
\setlength\parindent{0mm}

On considère un article pris au hasard au moment de passer le test.
 
On note :

$C$ l'évènement \og l'article est conforme aux normes \fg{} ;

$T$ l'évènement \og l'article est accepté par le test \fg.

$\overline{C}$  et $\overline{T}$ désignent les évènements contraires respectifs de $C$ et $T$.

La probabilité d'un évènement $E$ est notée $p(E)$ ; la probabilité conditionnelle de $E$ sachant que $F$ est réalisé est notée $p_{F}(E)$.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des données les probabilités $p(C)$,\:
$p\left(\overline{C}\right),\:p_{C}(T),\: p_{\overline{C}}(T),\: p_{C}\left(\overline{T}\right)$
et $p_{\overline{C}}\left(\overline{C}\right)$ (on pourra faire un arbre).
		\item Calculer $p(T \cap  C)$ et $p\left(T \cap 
\overline{C}\right)$. En déduire que $p(T) = 0,882$.
		\item Quelle est la probabilité que le contrôle donne un résultat erroné ?
	\end{enumerate}
\item Le coût de fabrication d'un article est $80$~F.

Tout article refusé par le test est détruit.

Chaque article accepté par le test est mis sur le marché et vendu $120$~F mais
lorsqu'un tel article n'est pas conforme aux normes, l'entreprise doit rembourser $140$~F au client (prix d'achat plus $20$~F de frais de port) et l'article litigieux est détruit.

Soit $X$ le nombre indiquant le bénéfice ou la perte correspondant à un article
choisi au hasard. L'ensemble des valeurs de $X$ est : $\{ + 40~;~- 80~;~ 
- 100\}$.

	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer les évènements $(X = 40)$,~$(X = 80)$ et $(X = 
-100)$ en utilisant $C$, $\overline{C}$,\: $T$ et $\overline{T}$.
		\item Donner la loi de probabilité associée à ces trois valeurs.
		\item Calculer l'espérance de cette loi. Quelle interprétation peut-on en donner ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Dans un certain milieu professionnel M, toute personne est tenue de posséder
un agenda et de le renouveler chaque année. On supposera qu'aucune personne n'achète plus d'un agenda.

Deux fournisseurs, désignés respectivement par $a$ et $b$, se partagent le marché des agendas dans le milieu M (donc tout individu faisant partie de M se
fournit soit auprès de $a$, soit auprès de $b$).

On cherche à prévoir les parts de marché futures de $a$ et $b$ en faisant l'hypothèse que d'une année sur l'autre :

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~$ $76$\,\% des clients de $a$ restent fidèles à $a$ ;

$\bullet~~$ $64$\,\% des clients de $b$ restent fidèles à $b$.
\setlength\parindent{0mm}

Pour l'année 2000, $40\,\%$ des individus faisant partie de M ont choisi 
$a$ et les autres ont choisi $b$.

On considère une personne prise au hasard dans M.

On note, pour tout entier naturel $n$ :

$A_n$ l'évènement \og l'année $2000 + n$, la personne choisit $a$ \fg.

$B_n$ l'évènement \og l'année $2000 + n$, la personne choisit $b$ \fg.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déduire des données les probabilités $p\left(A_0\right),~ P_{A_n} \left(A_{n+1}\right)$ et $P_{B_n} \left(A_{n+1}\right)$.
		\item Démontrer la relation $p\left(A_{n+1}\right) = 0,76 \times p\left(A_n\right) + 0,36 \times  p\left(B_n\right)$.
		\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ p_n = p\left(A_n\right)$. Justifier la relation
$p_{n + 1} = 0,4p_n + 0,36$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n,~ u_n = 0,6 - p_n$.
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,4 ; préciser son premier terme $u_0$.
		\item Exprimer $u_n$ puis $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate} 	
\item Exprimés en pourcentages, les nombres $p\left(A_n\right)$ et $p\left(B_n\right)$ constituent les prévisions, pour une future année $2000 + n$, des parts de marché respectives de $a$ et $b$.

Quelle évolution peut-on prévoir à long terme pour les parts de marché respectives de $a$ et $b$ si le comportement de la clientèle reste toujours le même ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représente une 
fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}\psset{unit=3cm} 
\begin{pspicture}(-2,-0.4)(2,2)
\psline(0,0)(1,1)
\psline(0.1,-0.1711)(1.3,1.0289)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-2,-0.4)(2,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-0.4)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psline[linestyle=dotted](0.333,0)(0.333,0.123)(0,0.123)
\uput[d](0.3333,0){$\frac{1}{3}$}
\uput[l](0,0.123){$\frac{1}{3\text{e}}$}
\uput[dr](0.3333,0.123){M} \uput[dl](0,0){O}
\uput[r](1,1){P}
\uput[r](0.7,0.4){T}
\uput[ur](1,0){Q}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{1.29}{2.71828 x 1 sub 1.5 mul exp x mul}
\end{pspicture} \end{center}

\begin{enumerate} 
\item Expression de la fonction

La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = x\text{e}^{mx} + p$, $m$ et 
$p$ étant deux constantes.
	\begin{enumerate} 
		\item En utilisant les points P(1 ; 1) et 
M$\left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3\text{e}}\right)$ de la courbe	$\mathcal{C}$, démontrer que $m$ et $p$ vérifient : $\left\{\begin{array}{l c r}
m + p		&=&0\\
m + 3p 	&=&- 3\\
\end{array}\right.$.
		\item  En déduire que $f(x) = x\text{e}^{\frac{3}{2} (x-1)}$.
	\end{enumerate}
\item Tableau de variations de $f$.
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$. On admet que 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
		\item Vérifier que 

\[f'(x) = \left(\dfrac{3}{2} x + 1\right)\text{e}^{\frac{3}{2} 
(x-1)}.\]

		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$ et dresser le tableau de 
variations de $f$.
	\end{enumerate}
\item Point de $\mathcal{C}$ où la tangente est parallèle à la droite (OP)
	\begin{enumerate} 
		\item On admet que $f'$ est strictement croissante sur l'intervalle 
[0~;~1].

Calculer $f'(0)$ et $f'(1)$.

Démontrer que, dans l'intervalle c[0~;~1], l'équation $f'(x) = 1$ a 
une solution unique $t$.

Donner un encadrement de $t$ d'amplitude $10^{-2}$.
		\item Justifier que $t$ est l'abscisse du point T de la courbe $\mathcal{C}$, situé entre O et P où la tangente est parallèle à la droite (OP).
	\end{enumerate}
\item Aire du domaine situé entre la courbe et le segment [OP]

On note $\mathcal{A}$ la mesure, en unités d'aire, de l'aire du domaine 
délimité par la courbe $\mathcal{C}$, le segment [OQ] et le segment [PQ] et $S$ la mesure, en  unités d'aire, de l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et le segment [OP].
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que $S = \dfrac{1}{2} -  \mathcal{A}$.
		\item Déterminer pour quelle valeur du réel $k$ la fonction 

\[G \quad :\quad  x \longmapsto  k\text{e}^{\frac{3}{2} (x-1)}.\]
		
est une primitive de la fonction $g\quad  \quad : x \longmapsto \text{e}^{\frac{3}{2} (x - 1)}$.
		\item Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{3}\left(f'(x) - g(x)\right)$. En déduire une primitive $F$ de $f$.
		\item Démontrer que $\mathcal{A} = \dfrac{2}{9}\left(1 + 
2\text{e}^{-\frac{3}{2}}\right)$.

Donner alors la valeur exacte de $S$ puis une valeur approchée 
de $S$ à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}