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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P{}. M. E. P{}.}
\rhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle--Calédonie mars 2009 \decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\textbf{QCM}

\medskip 

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée. 
 
 \medskip

\emph{Barème : une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip
 
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est une partie de la courbe représentative, dans un repère orthogonal, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle I $= [-4~;~ 4]$. La droite T tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point  A$(0~;~1,5)$ passe par le point B$(3~;~0)$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(-5,-5)(5,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-5)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0,1.5){A} \uput[ur](3,0){B} \uput[r](3.1,2.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](-3,3){T}\uput[d](5,0){$x$}\uput[l](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-4}{3.218}{1 x sub x 3 sub mul 2.71828 x exp mul neg 2 div}
\psplot{-4}{4}{1.5 0.5 x mul sub}
\end{pspicture} 

\newpage

\begin{enumerate}
\item  $f'(0)$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : 1,5&Réponse B :  $-0,5$&Réponse C : 0,5\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $f' (x) \leqslant 0$ si $x$ appartient à l'intervalle : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : $[-4~;~-1]$&Réponse B :  $[1~;~3]$&Réponse C : $[0~;~1]$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item  $\displaystyle\int_{-2}^0 f(x)\:\text{d}x$ est un nombre de l'intervalle :

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : [0~;~2]&Réponse B :  [2~;~4]&Réponse C : [4~;~6]\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  L'équation $\ln [f(x)] = 0$ a exactement :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : 1 solution&Réponse B :  2 solutions&Réponse C :  3 solutions\\
\end{tabularx}

\medskip 

\item  Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4~ ;~1[$ par $g(x) = \dfrac{1}{f(x)}$. La fonction $g$ est croissante sur  l'intervalle : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Réponse A : $[-3~;~-1]$&Réponse B : $[-2~;~1[$ &Réponse C : $[0~ ;~1[$\\
\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne en euros le montant des remboursements annuels $y_{i}$ effectués de 2003 à 2007 par un ménage, à la suite de divers emprunts : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année	& 2003 		&2004	 	&2005 		&2006 &2007 \\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année	& 1	 		&2 			&3 &4 &5 \\ \hline 
$y_{i}$& \np{6096} 	&\np{7602}    &\np{9170} 	&\np{11155} &\np{15385}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, avec $i$ compris entre 1 et 5, associe à cette série statistique. On prendra comme unité graphique 2~cm pour 1 en abscisse et 1~cm pour \np{1000}~euros en ordonnée.
 
On commencera les graduations au point de coordonnées $(0~;~ \np{6000})$. 
\item On pose, pour $i$ variant de 1 à 5, $z_{i} = \ln y_{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $z_{i}$ en arrondissant les valeurs à $10^{-3}$ près. 
	\item  Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients obtenus à l'aide de la calculatrice seront arrondis au centième. 
	\item  En déduire que l'on peut écrire une relation entre $y$ et $x$ sous la forme : $y  = \text{Ae}^{\text{B}x}$ avec A $\approx \np{4817}$ et B $ \approx 0,22$. 
	\item  En supposant, que cet ajustement reste valable en 2008, estimer le montant des remboursements annuels de ce ménage en 2008, arrondi à l'euro. 
	\end{enumerate}
	
\item \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip
 
Ce ménage disposait de \np{50000}~euros de revenu annuel en 2006. On estime que son revenu annuel augmente de 2\,\% par an. 

La banque alerte ses clients lorsque le montant des remboursements des emprunts dépasse le tiers du montant des revenus.
 
En quelle année la banque alertera-t-elle ce ménage ? Justifier. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

Un club de natation propose à ses adhérents trois types d'activité : la compétition, le loisir ou l'aquagym. Chaque adhérent ne peut pratiquer qu'une seule des trois activités.

\medskip
 
30\,\% des adhérents au club pratiquent la natation en loisir, 20\,\% des adhérents au club pratiquent  l'aquagym et le reste des adhérents pratiquent la natation en compétition.

\medskip
 
Cette année, le club propose une journée de rencontre entre tous ses adhérents. 20\,\% des adhérents de la la section loisir  et un quart des adhérents de la section aquagym participent à cette rencontre. 30\,\% des adhérents de la section compétition ne participent pas à cette rencontre. 

\medskip

On interroge au hasard une personne adhérente à ce club. On considère les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $A$ \og La personne interrogée pratique l'aquagym \fg,
 
\item[] $C$ \og La personne interrogée pratique la natation en compétition \fg,
 
\item[] $L$ \og La personne interrogée pratique la natation en loisir \fg,
 
\item[] $R$ \og La personne interrogée participe à la rencontre \fg{} et $\overline{R}$ son évènement contraire. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que la personne interrogée pratique la natation en compétition et qu'elle participe à la rencontre. 
		\item Le président du club déplore que plus de la moitié des adhérents ne participent pas à la rencontre. Justifier son affirmation par un calcul.
	\end{enumerate} 
\item On interroge une personne au hasard lors de la rencontre. Calculer la probabilité qu'elle soit dans la section compétition. \emph{Donner une valeur approchée du résultat arrondie à $10^{-2}$ près.} 
\item Les tarifs du club pour l'année sont les suivants : l'adhésion à la section compétition est de 100~\euro{} et l'adhésion à la section loisir ou à l'aquagym est de 60~\euro. De plus, une somme de 15~\euro{} est demandée aux adhérents qui participent à la rencontre.
 
On appelle $S$ la somme annuelle payée par un adhérent de ce club (adhésion et participation éventuelle à la rencontre). 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $S$ :
		
\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$S_{i}$	&60 	&75 	&100 	&115 \\ \hline
$p_{i}$	&		&0,11	&		& 0,35\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip 

		\item Calculer l'espérance mathématique de $S$ et interpréter ce nombre.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip
	
\fbox{\textbf{I}. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$  par :

\[ f(x) =  0,5x + \text{e}^{-0,5x + 0,4}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item  Étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ et vérifier que $f$ admet un minimum en 0,8.
\end{enumerate}

\medskip

\fbox{\textbf{II}. Application économique}

\medskip 
 
Une entreprise fabrique des objets. $f(x)$ est le coût total de fabrication, en milliers d'euros, de $x$ centaines d'objets. Chaque objet fabriqué est vendu 6~\euro. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût total de fabrication soit minimum ? 
\item  Le résultat (recette moins coûts), en milliers d'euros, obtenu par la vente de $x$ centaines d'objet  est : 	$R(x) = 0,1x - \text{e}^{-0,5x + 0,4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $R$ sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ . 
	\item Montrer que l'équation $R(x) = 0$ a une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
	\item En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise un bénéfice sur la vente des objets. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}