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%Tapuscrit de Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Nathalie Mignot 
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie mars 2011~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
Lors d'un sondage organisé dans différents pays de l'Union Européenne sur une population comportant 52\,\% de femmes et 48\,\% d'hommes, on a posé la question suivante : 

\og  Qu'est-ce qui renforcerait le plus votre sentiment d'être un citoyen européen ? \fg
 
31\,\% des femmes interrogées et 34\,\% des hommes interrogés ont répondu qu'un système européen de protection sociale serait l'élément qui renforcerait le plus leur sentiment d'être un citoyen européen.
 
(\emph{Source : \og le futur de l'Europe \fg, Commission Européenne, sondage réalisé en mars 2006})

\medskip
 
On prélève au hasard la réponse d'une personne prise au hasard parmi les réponses des personnes interrogées lors de ce sondage.
 
On appelle :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $H$ : l'évènement \og la réponse est celle d'un homme \fg.
\item $F$ : l'évènement \og la réponse est celle d'une femme \fg.
\item $S$ : l'évènement \og la réponse est un système de protection social européen \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner un arbre pondéré traduisant la situation. 
\item Calculer la probabilité qu'une réponse du sondage soit celle d'un homme souhaitant avoir un système de protection social européen. On donnera la valeur exacte. 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ est \np{0,3244}. 
\item Sachant que la personne souhaite avoir un système de protection social européen, calculer la probabilité, arrondie au millième, que ce soit une femme. 
\item On choisit au hasard trois réponses de ce sondage.

On admet que le nombre de réponses est suffisamment grand pour assimiler le choix de trois réponses à des tirages successifs indépendants avec remise 
Déterminer la probabilité qu'au moins deux des trois réponses soient \og avoir un système de protection social européen \fg. \emph{On arrondira le résultat au millième.} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Cet exercice est un QCM (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte: a, b ou c. 

Pour chacune des questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. 

\emph{Barème : une bonne réponse rapporte 1 point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point. L'absence de réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip 

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ appartenant à $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$ par 

\[f(x) = - x + 2 + \ln (2x + 1)\]

 et soit $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point : 
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} A$\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2} + \ln 2\right)$ 
&\textbf{b.~~} B(0~;~2)&\textbf{c.~~} C $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} + \ln 2 \right)$\\ 
\end{tabularx}

\medskip 

\item  La limite de $f$ en $- \dfrac{1}{2}$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} $\dfrac{5}{2}$&\textbf{b.~~} $- \infty$& 
\textbf{c.~~} $+ \infty$\\ 
\end{tabularx}

\medskip 
 
\item Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $\left]- \dfrac{1}{2}~;~5\right[$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX}
\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~}  1 &\textbf{c.~~} 2\\ 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne le nombre de clients ayant fréquenté un restaurant donné pour la période 2000 - 2005.
 
Chaque année est remplacée par son rang $x_{i}$ et le nombre de clients correspondant $y_{i}$ est donné en centaines.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005\\ \hline% 
Rang $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline% 
Nombre $y_{i}$& 51,5 &50 &49 &48 &47,5 &47\\ \hline%
\end{tabularx}
 
\medskip

Le graphique ci-dessous donne le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ avec $i$ compris entre 0 et 5. 

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=45]{->}(0,0)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=45](0,0)(12,7)
\psdots[dotscale=1.25,linecolor=blue](0,6.5)(1,5)(2,4)(3,3)(4,2.5)(5,2)
\end{pspicture}
\end{center} 

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer à l'aide de la calculatrice l'équation $y = ax + b$ de la droite $D$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
 
Les coefficients $a$ et $b$ seront arrondis au centième. Aucune justification n'est demandée. 
\item Tracer la droite $D$ dans le repère de l'annexe 1. 
 
\item En utilisant ce modèle, quel nombre de clients pouvait-on prévoir pour les années 2006 et 2007 ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une étude plus récente a permis d'obtenir le nombre de clients pour la période 2006 - 2009. Ces résultats sont donnés dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
Rang $x_{i}$& 6 &7 &8 &9\\ \hline% 
Nombre $y_{i}$ &47 &47,2 &47,5 &47,9\\ \hline%
\end{tabularx} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de ces valeurs compléter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de la série statistique sur le document de l'annexe 1. 
		\item Le modèle d'ajustement trouvé dans la partie A vous paraît-il pertinent pour la période 2006--2009 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~9] par 

\[f(x) = 2x + 15 + \text{e}^{- 0,1x + 3,6}.\] 

On choisit un nouveau modèle d'évolution : on prend le nombre $f(x)$ comme estimation du nombre de centaines de clients de ce restaurant au cours de l'année $2000 + x$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(7)$. 

Le choix de ce modèle d'évolution semble-t-il pertinent pour l'année 2007? 
		\item D'après ce modèle d'évolution, à combien peut-on estimer le nombre de clients qui fréquenteront le restaurant en 2010 ? (\emph{On donnera le résultat arrondi à la centaine de clients}). 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'entreprise CoTon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur $x$ exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.
 
Le coût total de production en euros de l'entreprise CoTon est donné en fonction de la longueur $x$ par la formule 

\[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 500x + 750.\]
 
Le graphique de l'annexe 2 donne la représentation graphique de la fonction $C$.

\medskip
 
\textbf{Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes}

\medskip
 
\textbf{Partie A : Étude du bénéfice}

\medskip
 
Si le marché offre un prix $p$ en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l'entreprise CoTon pour la vente d'une quantité $x$ est égal à $R(x) = px$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{1}$ d'équation $y = 400x$. 

Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l'entreprise CoTon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix $p$ du marché est égal à $400$~euros. 
\item  Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à $680$~euros.
 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer sur le graphique de l'annexe 2 la droite $D_{2}$ d'équation $y = 680x$. 

Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles quantités produites et vendues, l'entreprise CoTon réalise un bénéfice si le prix $p$ du marché est de $680$~euros. 
		\item On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~; ~10] par 
		
\[B(x) = 680x - C(x).\]
		 
Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~10] on a :
 
\[B'(x) = - 45x^2 + 240x + 180.\]

		\item Étudier les variations de la fonction $B$ sur [0~;~10]. 

En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l'entreprise CoTon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du coût moyen}

\medskip 

On rappelle que le coût moyen de production $C_{M}$ mesure le coût par unité produite. On considère la fonction $C_{M}$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[C_{M}(x) = \dfrac{C(x)}{x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~10] on a : 

\[C'_{M}(x) = \dfrac{30(x - 5)\left(x^2 + x + 5\right)}{x^2}.\] 
 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~10], $C'_{M}(x)$ est du signe de $(x - 5)$.
		 
En déduire les variations de la fonction $C_{M}$ sur l'intervalle ]0~;~10]. 
		\item Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum ? 
		
Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
{\large\textbf{Annexe 1 (exercice 3) -- à rendre avec la copie}}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(12,7)
\psdots[dotscale=1.25,linecolor=blue](0,6.5)(1,5)(2,4)(3,3)(4,2.5)(5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=45]{->}(0,0)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=45](0,0)(12,7)
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 2 (exercice 4) -- à rendre avec la copie}}

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,9000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 15 mul x dup mul 120 mul sub 500 x mul add 750 add}
\multido{\n=0.0+0.2}{56}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,9000)}
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\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10000]{->}(0,0)(11,9000)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10000](0,0)(11,9000)
\multido{\n=0+1000}{10}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}