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% Tapuscrit François Hache
% Relectire Arié Yallouz
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small mars 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{NlleCaledonie}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Nouvelle Calédonie mars 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Des professeurs d'éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir $3$ fois $500$~mètres.

Le temps cumulé obtenu à l'issue d'un cycle définit une note de performance notée sur 14 points.

Le barème est différent entre les garçons et les filles.

4 classes sont regroupées et $40\,\%$ des élèves sont des filles.

$60\,\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

\smallskip

\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.\index{probabilités}

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $F$ l'évènement : \og L'élève est une fille \fg{};
\item $G$ l'évènement : \og L'élève est un garçon \fg{};
\item $M$ l'évènement : \og La note de performance est supérieure ou égale à 7 sur 14\fg{}. 
\end{list}

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_{F}(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.\index{arbre}
\item Déterminer $P(F\cap M)$.
\item Sachant que $P(M) = 0,64$, déterminer $P(G\cap M)$ puis en déduire $P_{G}(M)$, arrondie au millième.
\item Sachant qu'une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14, quelle est la probabilité que ce soit une fille?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On considère un groupe de 70 filles d'un autre établissement.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=70$ et $p=0,6$.\index{loi binomiale}

Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu'exactement 30 filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7.

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L'unité de mesure de la VMA est le km/h.

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.

On admet que la VMA d'un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=11,8$ et d'écart type $\sigma = 1,2$.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$, qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre 10 et 13~km/h?
\item Déterminer la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P(Y\leqslant \alpha) = 0,8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}
 
 \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0~;\,+\infty[$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

La valeur exacte de $f'(\text{e})$ est:\index{dérivée}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $0$
\item $\dfrac{1}{\e}$
\item $1$
\item $\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\,\%$.

Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\,\%$?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $10\,\%$
\item $7,62\,\%$
\item $6,75\,\%$
\item $8,76\,\%$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q = 1,05$ et de premier terme $u_1=3$.\index{suite géométrique}

La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{49}$ est égale à:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\item $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$

\columnbreak

\item $S=595,280$
\item $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,12]$.\index{loi uniforme}

Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}$
\item $\dfrac{7}{12}$
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.\\
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Vrai-Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.\index{intervalle de confiance}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}: Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l'institut de sondage doit interroger au minimum \np{10000} personnes. 

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne 6.\index{loi normale}

On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité $f$ associée à la variable aléatoire $X$.
La partie grisée vaut $0,95$ unité d'aire.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=50cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-0.01)(16,0.15)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{0}{12}
\psline(12,0)(0,0)
}
\multido{\n=-2+2}{10}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.15)}
\multido{\n=0.00+0.02}{8}{\psline[linestyle=dashed](-3,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-3,0)(16,0.15)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{-3}{16}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 2}: L'écart type de $X$ est égal à 6.\index{ecart type@écart type}
\end{enumerate}


%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de  spécialité et candidats de L}

\medskip

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de 10 places chacune. Pendant l'été 2017, 160 enfants ont participé à cette colonie.

À la suite d'une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\,\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l'année suivante et 50 nouveaux enfants les rejoignent.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation du nombre d'enfants inscrits à l'été 2018.
\item Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l'ensemble des inscrits pendant l'été 2018.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique qui modélise le nombre d'inscrits lors de l'année $2017+n$. Ainsi $u_0 = 160$.

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} = 0,8 u_n + 50$.\index{suite}

\item Voici la copie d'écran d'une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.\index{tableur}

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{| >{\cellcolor{lightgray}}c|c| *6{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A & B & C & D  & E & F & G\\
\hline
1 & indice $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
2 & valeur de $u(n)$ &  160 &   &  & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule \texttt{C2} pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d'inscrits l'année $2017 + n$?
\item Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l'entier.
\item Donner une estimation du nombre d'inscrits en 2021.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n= u_n - 250$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.\index{suite géométrique}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n=250 - 90\times 0,8^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item En 2017, la colonie comptait 22 tentes.

Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l'algorithme ci-dessous:\index{algorithme}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$U \leftarrow 160$\\
$N \leftarrow 0$\\
Tant que $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ faire \hspace*{1cm}\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow 0,8\, U + 50$\\
\hspace*{1cm} $N \leftarrow \dots\dots\dots$\\
Fin tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il permette de répondre au problème.
\item Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;\,6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous.

Le point A de coordonnées $(0~;\,3)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-2~;\,6]$.\index{point d'inflexion}

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point B d'abscisse $-1$.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {6.5}
\def\ymin {-2.3}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-3,-3)(7,7)
{\psset{linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=gray}
\multido{\i=-2+1}{9}{\psline(-3,\i)(7,\i) \psline(\i,-3)(\i,7)}
}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{x 2 add 2.7183 x neg exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{-3}{6}{x neg 3 add}
\uput[ur](4,1.11){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](4,-1){$T$}
\uput{8pt}[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-1,3.7183)(0,3)
\uput[d](-1,3.7183){B} \uput[ur](0,3){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes:\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$.
\item Déterminer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\item Déterminer le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$.
\item Donner la convexité de $f$ sur $[-2~;\,6]$.\index{convexité}
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I=\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

La fonction $f$ est définie par $f(x)= (x + 2)\e^{-x} + 1$ pour tout $x \in [-2~;\,6]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $f(6)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
\item Montrer que, pour tout $x \in [-2~;\,6]$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.\index{dérivée}
\item Étudier le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2~;\,6]$.
\item Un logiciel de calcul formel donne l'information suivante:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|lr|}
\hline
\texttt{Dériver } \left ( (-x-3)\e^{-x}\strut\right ) & \\
\hline
& (x+2)\e^{-x}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2~;\,6]$.\index{primitive}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1~;\,0]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}