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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie novembre 2004~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

\begin{center} 
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(10,3.5) \psline(0,2)(10,2) \psline(0,3)(10,3)
\psline(2,0)(2,3.5) \psline[doubleline=true](6,0)(6,3) 
\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$-\infty$} \uput[u](6,3){$-2$} 
\uput[u](8,3){$1$} \uput[u](9,3){$\alpha$} \uput[u](9.65,3){$+ \infty$}
\uput[u](1,2.2){$f'(x)$} \uput[u](4,2.2){$-$} \uput[u](7,2.2){$-$} 
\uput[u](8,2.2){$0$} \uput[u](9,2.2){$+$}
\uput[u](0.9,1.4){variation}\uput[d](2.3,2){$+ \infty$} 
\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}\uput[d](9.7,2){$+ \infty$} 
\uput[u](0.5,0.5){de $f$} \uput[u](5.5,0){$- \infty$} 
\uput[u](8,0){$- 1$} \uput[u](9,0.75){$0$}  \uput[d](9.7,21){$+ \infty$}
\psline{->}(2.8,1.6)(5.1,0.5)  \psline{->}(6.5,1.6)(7.6,0.5)
\psline{->}(8.4,0.5)(9.6,1.6)          
\end{pspicture} 
\end{center}

On a donné le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur 
$]- \infty~;~-2[ \cup  ]-2~;~+ \infty[$, où $\alpha$ est le nombre réel
strictement supérieur à 1 tel que $f(\alpha) = 0$.

On appelle $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un 
repère orthonormal \Oij.

Dire pour chacune des cinq affirmations suivantes si elle est VRAIE ou 
si elle est FAUSSE ou si ON NE PEUT PAS CONCLURE. Aucune justification n'est demandée.

Le barème est le suivant : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item 0,5 point par réponse exacte ; 
\item 0,25 point par réponse fausse ;
\item 0 point pour absence de réponse.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Cet exercice sera noté entre $0$ et $3$ ; il n'y aura pas de note globale négative.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item La droite d'équation $y = -2$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
\item L'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions.
\item $f(x) \leqslant  0$ pour tout $x \in~  ]-5~;~-2[$.
\item Sachant que $\alpha$ appartient à l'intervalle $]1~;~2[$, on a 
$\displaystyle\int_{\alpha}^2  f(x)\:\text{d}x < 0$.
\item Les primitives de $f$ sont croissantes sur l'intervalle $[1~;~\alpha]$.
\item Si $- 2 < x < 1$ et $\alpha < x'$ alors  $f(x) < f(x')$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Pour chacune des questions suivantes, indépendantes les unes des autres, il est proposé quatre réponses dont une seule est exacte. Donnez la bonne réponse en justifiant votre choix.

\begin{enumerate} 
\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  \ln \left(2 + \dfrac{3}{x}\right) = L$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $L = 0$ & \textbf{B.~~}\quad $L = \ln 2$& \textbf{C.~~} \quad $L = \ln 5$ &	\textbf{D.~~}\quad $L = 0,7$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $]0~;~ 
+\infty[$  par
$f(x) = x - 2 + \dfrac{3\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ admet pour asymptote
en $+ \infty$ la droite d'équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $y = x + 1$&\textbf{B.~~}\quad $y = x - 2$ & \textbf{C.~~}\quad $y = x $&	\textbf{D.~~}\quad $y = 3$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item $I = \displaystyle\int_0^1 \text{e}^{2x+1}\:\text{d}x$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad  $I = \dfrac{1}{2}\text{e}^3 - \dfrac{1}{2}\text{e}$&\textbf{B.~~}\quad 
$I = \text{e}^3 - 1$ &	\textbf{C.~~}\quad $I = 0$ &	
\textbf{D.~~}\quad $I = 2\text{e}^3 - 2\text{e}$.
\end{tabularx}
\medskip


\item Dans un lycée $45\,\%$ des élèves de terminale sont des garçons. Les 
élèves de ce lycée étudient l'anglais, l'allemand ou l'espagnol en première langue vivante.

\setlength\parindent{9mm}
$\bullet~~70\,\%$ des élèves étudient l'anglais,

$\bullet~~20\,\%$ des garçons étudient l'allemand,

$\bullet~~40\,\%$ des élèves qui étudient l'anglais sont des garçons,

$\bullet~~$il y a autant de garçons que de filles qui étudient l'espagnol.

\setlength\parindent{0mm}

À l'aide d'un tableau ou d'un arbre, répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le pourcentage des garçons qui étudient l'anglais ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $42\,\%$ &	\textbf{B.~~}\quad $28\,\%$ &	\textbf{C.~~}\quad $18\,\% $&	\textbf{D.~~}\quad $52\,\%$\\
\end{tabularx}
\medskip

		\item On choisit au hasard la fiche d'un élève parmi ceux qui ne  pratiquent pas l'allemand. Quelle est la probabilité que ce soit une fille qui étudie l'espagnol ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{A.~~}\quad $\dfrac{2}{7}$&\textbf{B.~~}\quad $\dfrac{4}{43}$&	\textbf{C.~~}\quad $\dfrac{8}{55}$ & \textbf{D.~~}\quad $\dfrac{5}{16}$.
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\textbf{pour les candidats n'ayant pas suivi la spécialité}

\medskip

Soit l'équation (E) : $\dfrac{1}{x} = x - 2$ où l'inconnue est un réel de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

\begin{enumerate} 
\item Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole 
d'équation $y = \dfrac{1}{x}$ et la droite d'équation $y = x-2$.

\begin{center} \begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psline(-4,0)(4,0) \psline(0,-4)(0,4)
\psaxes[Dx= 5,Dy=5,ticks=all]{->}(0,0)(-4,-4)(4,4)
\psplot{-4}{-0.25}{1 x div}
\psplot{0.25}{4}{1 x div} 
\psline(-2,-4)(4,2)
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline(\n,0)(\n,0.1)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline(0,\n)(0.1,\n)}
\end{pspicture} \end{center}

Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E)  semble-t-elle admettre de solutions sur $]0~;~+\infty[$ ?

\item Un second élève considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) =  x - 2 - \dfrac{1}{x}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les limites de $g$ aux bornes de l'ensemble de définition.
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de $g$. Calculer $g'(x)$. Montrer que $g$ est strictement croissante sur $] 0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation (E) et en donner, à  l'aide de la calculatrice, un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\item Un troisième élève dit : \og Je peux résoudre l'équation (E)  algébriquement \fg. Justifier, en résolvant l'équation (E), que ce troisième élève a raison.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi la spécialité}

\medskip

Pour modéliser la production d'une entreprise les économistes utilisent des fonctions qui suivent le modèle dit de Cobb-Douglas : $z =  Ax^{\alpha}y^{\beta}\quad  (A,\:\alpha,\:\beta$ réels strictement positifs), où $z$ désigne une quantité obtenue à partir de deux quantités variables $x$ et $y$.

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $h$ définies pour $x \in  [0~;~10]$ et $y \in  [0~;~10]$ respectivement par

\[f(x~;~y) =  x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{2}}\quad  \text{et}\quad  h(x~;~y) = \dfrac{1}{4}x^2y.\]

\smallskip

\begin{enumerate} 
\item Vérifier que $f$ et $h$ sont deux fonctions de Cobb-Douglas en donnant pour chacune d'elles les valeurs  $A,~ \alpha,~\beta$.
\item Les représentations graphiques de $f$ et $h$ figurent parmi les trois représentations graphiques ci-dessous.
 
Associer à chaque fonction sa représentation graphique. Les choix seront justifiés.
 
\vspace{1,5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{c c }
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(0,-5)(13,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=8]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,8)
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=green](0.01,10)(0.01,10){x  2 exp  y 2 exp 3 mul  add  50 div}
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,16){$200$}
\end{pspicture} &\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(-2,-5)(13,10)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=7.143]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,7.14286)
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=red](0,10)(0,10){x dup mul  y  mul 4 div 35 div}
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,16){$250$}
\end{pspicture}\\
représentation 1 & \hspace{2cm}représentation 2\\
\end{tabular}

\begin{tabular}{c c }
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm,Alpha=135,Beta=30,drawing=false}
\begin{pspicture}(0,-5)(10,13)
\pstThreeDCoor[xMin=0.01,xMax=10,yMin=0.01,yMax=10,zMin=0.01,zMax=6.81]
\pstThreeDBox(0,0,0)(10,0,0)(0,10,0)(0,0,8.172)
\pstThreeDPut(5,-2,0){$x$} \pstThreeDPut(0,-2,0){$0$}\pstThreeDPut(10,-2,0){$10$}  \pstThreeDPut(12,4,0){$y$}\pstThreeDPut(12,-1,0){$0$} \pstThreeDPut(12,8,0){$10$}
\pstThreeDPut(21.5,0,12){$z$} \pstThreeDPut(21.5,0,9){$0$}\pstThreeDPut(21.5,0,17){$6,81$}
\psplotThreeD[xPlotpoints=20,yPlotpoints=20,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0.01,10)(0.01,10){x 1 3 div exp   y 1 2 div exp mul 1.2 mul}
\end{pspicture} & \\
représentation 3 & \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,3cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

La fabrication d'un produit dépend des durées de fonctionnement de deux machines M et M$'$. Les durées de fonctionnement des machines M et M$'$ exprimées en centaines d'heures sont respectivement égales à $x$ et $y$. La quantité produite, exprimée en tonnes, est $z = h(x,~y)$, où $h$ est la fonction définie à la \textbf{partie A}.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question la quantité produite est fixéeà 25 tonnes.

Quelle est, parmi les trois représentations graphiques suivantes, celle de la section du plan d'équation $z = 25$ avec la surface d'équation $z = \dfrac{1}{4}x^2y$ ?

\[\begin{array}{c c c}
\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{x dup mul 2.5 div}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture} & ~~~~~~
\psset{unit=0.45cm}\begin{pspicture}(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{3.168}{10}{100 x dup mul div}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\end{pspicture}\\
\end{array}\]

\medskip

\[\psset{unit=0.45cm} \begin{pspicture}(10.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(10.5,10.5)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](10,0){$x$} \uput[r](0,10.2){$y$}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline(0,\n)(10,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.0005}{10}{1 x 1 sub  div ln 2.2 add}
\end{pspicture}\]

\item Les horaires de travail font que la somme des durées de fonctionnement des deux machines M et M$'$ est de huit centaines d'heures.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $z = 2x^2 - \dfrac{1}{4}x^3$.
		\item Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = 2x^2 - \dfrac{1}{4}x^3$  pour $x  \in [0~;~8]$.

Étudier les variations de $g$ et en déduire les durées de fonctionnement $x$ et$y$ qui assurent une production maximum.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\medskip

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x\text{e}^x - 1.\]

\begin{enumerate} 
\item
	 \begin{enumerate}
	 	 \item On admet que la limite 
de $g$ en $- \infty$ est $- 1$. Le tableau ci-dessous  est le tableau de 
variations de $g$. Justifier toutes les affirmations qui sont notées dans 
ce tableau :

\begin{center} 
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,4.8)
\psframe(10,4.8)
\psline(0,3)(10,3) \psline(0,4)(10,4)
\psline(2,0)(2,4.8)
\uput[u](1,4){$x$} \uput[u](2.3,4){$- \infty$} \uput[u](6,4){$-1$}
\uput[u](9.6,4){$+ \infty$}
\uput[u](1,3.3){$g'(x)$} \uput[u](4,3.3){$-$} \uput[u](6,3.3){$0$}
\uput[u](8,3.3){$+$}
\uput[u](1,1){$g(x)$} \uput[d](2.2,3){$-1$} 
\uput[u](6,0){$-\dfrac{1}{\text{e}} - 1$} \uput[d](9.6,3){$+ \infty$}   
\psline{->}(2.5,2.5)(5.3,0.5) \psline{->}(6.6,0.5)(9.3,2.5)
\end{pspicture} \end{center}

		\item On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. En  déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
	\end{enumerate}
\item On note $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) =  \text{e}^x - \ln x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Étudier la limite de $f$ en $0$.
		\item Vérifier que, pour $x > 0,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x}$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$, en admettant que la limite  de $f$  en $+ \infty$ est $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal. Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et $2$~cm sur l'axe des ordonnées.

Tracer $\mathcal{C}$, en prenant $0,6$ comme valeur approchée de $\alpha$.

\item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~ y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que : $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$ et $0 \leqslant y \leqslant f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer l'ensemble $\mathcal{D}$.
		\item Vérifier que la fonction $U$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $U(x) = x \ln x - x$ est une primitive de la fonction logarithme népérien.
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer l'aire de $\mathcal{D}$ en unités d'aire. Puis en donner une valeur  approchée en cm$^2$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}