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%Tapuscrit : Denis Vergès
%sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat STMG},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STMG }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{14 novembre 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STMG  Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2014~\decofourright}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les parties A, B et C sont indépendantes.}
\end{center} 

Le tableau suivant donne le prix moyen d'un paquet de cigarettes au 1\up{er} janvier de chaque année de 1991 à 2000. On sait de plus que, le 1\up{er} janvier 2012, le prix moyen d'un paquet de cigarettes était de 6,40~\euro. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année			&1991	&1992	&1993	&1994	&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000\\ \hline   
Rang de l'année	&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7		&8		&9		&10\\ \hline   
Prix en euros 	&1,50	&1,81	&2,10	&2,36	&2,67	&2,74	&2,94	&2,96	&3,05	&3,20\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center} 

On a représenté ci-dessous, dans un repère orthogonal du plan, les données du tableau sous la forme d'un nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ variant de 1 à 10.
 
\begin{center}
\psset{xunit=.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.4)(20,5.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridcolor=cyan](0,0)(20,5) 
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(20,5.2)
\uput[r](0,5.3){Prix en euros} 
\uput[u](18,0){Rang de l'année}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,1.5)(2,1.81)(3,2.1)(4,2.36)(5,2.67)(6,2.74)(7,2.94)(8,2.96)(9,3.05)(10,3.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Soit les points A de coordonnées (0~;~1,53) et B de coordonnées (5,5~;~2,52). On admet que la droite (AB) réalise un bon ajustement affine du nuage de points. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'une équation de la droite (AB) est $y = 0,18x+ 1,53$. 
\item Selon ce modèle d'ajustement, quel est le prix moyen d'un paquet de cigarettes le 1\up{er} janvier 2012 ? Que peut-on penser du résultat obtenu ? 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global, en pourcentage, du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2012. 
\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen du prix moyen d'un paquet de cigarettes entre le 1\up{er} janvier 2000 et le 1\up{er} janvier 2012. 

\emph{On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi à l’unité près.} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip  

On suppose que le prix moyen d'un paquet de cigarettes augmente de 6\,\% par an à partir du 1\up{er} janvier 2000. On note $u_{n}$ le prix moyen d'un paquet de cigarettes pour l'année $(2000 + n)$. 

On a donc $u_{0} = 3,20$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. \emph{On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près}. 
		\item Déterminer et justifier la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. Préciser sa raison. 
		\item Exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Selon ce modèle d'évolution, le prix moyen d'un paquet de cigarettes dépasse-t-il 5~\euro{} le 1\up{er} janvier 2005 ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l}
\textbf{Variables :}		& $n$ est du type nombre entier\\
							& $u$ est du type nombre réel\\ 
							&$S$ est du type nombre réel\\ 
\textbf{Début algorithme :}	& $u$ prend la valeur 3,2\\
							& $S$ prend la valeur 3,2\\ 
							&Pour $n$ allant de 1 à 4\\
							&\hspace{0.6cm} Début Pour\\ 
							&\hspace{0.6cm} $u$ prend la valeur $u \times 1,06$\\ 
							&\hspace{0.6cm} $S$ prend la valeur $S + u$ \\
							&\hspace{0.6cm} Fin Pour\\
\textbf{Fin algorithme}		&\\ 
\textbf{Sortie :} 			&Afficher $S$\\
\end{tabular}
\end{center} 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur affichée par cet algorithme? \emph{On arrondira le résultat à } $10^{-2}$ \emph{près}. On pourra s'aider du tableau fourni en \textbf{annexe à rendre avec la copie} pour répondre. 
		\item L'algorithme affiche une valeur lorsqu'il s'achève. Comment interpréter cette valeur par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip 

Paul a arrêté de fumer le 1\up{er} janvier 2011. Du 1\up{er} janvier 2000 au 31 décembre 2010, il fumait 90 paquets de cigarettes par an. Quelle somme d'argent aurait-il pu économiser s'il n'avait pas fumé durant ces années ? \emph{On arrondira le résultat au centime d'euro près}. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

On s'intéresse au contrôle technique des véhicules de marques A et B. 

En 2013, sur \np{571870} véhicules contrôlés, \np{266430} sont de marque A et \np{305440} de marque B. Pour ces véhicules, soit le contrôle technique est conforme soit il est non conforme. 

Pour 8\,\% des véhicules de marque A, le contrôle technique est non conforme. 

Pour 6\,\% des véhicules de marque B, le contrôle technique est non conforme. 

Pour chacun des véhicules contrôlés, une fiche a été établie. 

\medskip

On choisit une de ces fiches au hasard et on note : 

$A$ l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque A\fg,

$B$ l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un véhicule de la marque B \fg, 

$C$ l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme \fg, 

$\overline{C}$ l'évènement : \og la fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique non conforme \fg. 

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, on arrondira tous les résultats à  \boldmath $10^{-2}$\unboldmath près}.
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$, notée $p(A)$, arrondie à $10^{-2}$ près, vaut 0,47. 
		\item Donner la probabilité conditionnelle, notée $p_{A}\left(\overline{C}\right)$, de l'évènement $\overline{C}$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé. 
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant: 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,47}}
	{
	\TR{$C$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$B$~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$C$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{C}$}\tbput{0,06}
	}
}
\end{center} 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement $C \cap A$. 
		\item Calculer la probabilité $p(C \cap A)$. 
	\end{enumerate}
\item Justifier que la probabilité de l'évènement $C$, arrondie à $10^{-2}$ près, est égale à $0,93$. 
\item La fiche choisie est celle d'un véhicule ayant un contrôle technique conforme, quelle est la probabilité que ce véhicule soit de la marque A ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}

\medskip 

Pour chaque question, \textbf{une seule des trois réponses proposées est correcte.}

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. 
 
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. 

La probabilité de l'évènement $\{X \leqslant 10\}$, notée $P(X \leqslant 10)$, est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$P(X < 11)$& $P(0 \leqslant X \leqslant 10)$& $P(X < 10)$
\end{tabularx}
\medskip 

\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 12 et d'écart-type 2. 

La probabilité de l'évènement $\{8 \leqslant X \leqslant 16\}$, notée $P(8 \leqslant X \leqslant 16)$, vaut, à $10^{-2}$ près : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
0,5&  0,95 &0,68 
\end{tabularx}
\medskip 

\item La variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $12$ et d'écart-type $2$. 

La probabilité de l'évènement $\{8 \leqslant X \leqslant 12\}$, notée $P(8 \leqslant X \leqslant 12)$, est égale à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
$1 - P(X \geqslant 8) $& $0,5 + P(X \geqslant 8)$ &$0,5 - P(X \leqslant 8)$
\end{tabularx}
\medskip 

\item En France, le 1\up{er} janvier 2010,\: 48,7\,\% des foyers possédaient au moins un écran plat de télévision. Une étude s'intéresse à un échantillon de 150~foyers possédant au moins un écran plat de télévision et domiciliés dans une même ville. Un intervalle de fluctuation à au moins 95\,\% de la fréquence de ces foyers possédant un écran plat est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}}
[48,6~;~48,8] &[0,35~;~0,52] &[0,40~;~0,57] 
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip 

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques. 

Le coût de production $C$, en euros, de $x$ de ces pièces est donné, pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~25], par 

\[C(x) = x^3 - 13,5x^2 + 60x + \np{1000}.\] 

Chaque pièce est vendue 270 euros. 

Un tableur a été utilisé pour calculer les coûts et les recettes qui figurent sur la feuille de calcul donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.

Dans cette feuille de calcul, deux valeurs ont été effacées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production de 2 pièces ? 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la recette pour 2 pièces produites et vendues ? 
		\item Donner la formule qui a été saisie dans la cellule C2 puis recopiée vers le bas jusqu'à la cellule C27 pour obtenir la recette selon le nombre de pièces produites et vendues. 
	\end{enumerate}
\item Pour 5 pièces produites et vendues, l'entreprise fait-elle un gain ? Justifier. 

\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

\medskip

Pour quelles quantités de pièces produites et vendues l'entreprise réalise-t-elle un gain ? 

\emph{On donnera la réponse sous la forme d'un intervalle.} 

Pour $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~25], le bénéfice est donné par : 

\[B(x) = - x^3 + 13,5x^2 + 210x - \np{1000}.\] 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$. 
		\item Montrer que, pour $x [0~;~14],\: B'(x) \geqslant 0$ et que, pour $x \in  [14~;~25],\: B'(x) \leqslant 0$. 
	\end{enumerate}
\item Dresser le tableau des variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 25]. 
\item Pour quelle quantité de pièces produites et vendues le bénéfice est-il maximal ? 

Quelle est alors la valeur de ce bénéfice ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\bigskip 

\textbf{EXERCICE 1}

\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$	&		&   1	&2	&&&&&&&&&&\\ \hline   
$u$	&3,2	&3,39	&	&&&&&&&&&&\\ \hline     
$S$	&3,2	&6,59 	&	&&&&&&&&&&\\ \hline    
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\bigskip 

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A&   B&   C \\ \hline  
1&Nombre de pièces&Coût en milliers d'euros&Recette en milliers    d'euros\\ \hline   
2	& 0	&  \np{1000,0}	&   0 		\\ \hline  
3	& 1	&  \np{1047,5}	&   270		\\ \hline   
4 	& 2	&     			&  			\\ \hline
5	& 3	&  \np{1085,5}	&   810\\ \hline   
6	& 4 &  \np{1088,0}	&   \np{1080}\\ \hline   
7	& 5	&  \np{1087,5}	&   \np{1350}\\ \hline   
8	& 6	&  \np{1090,0}	&   \np{1620}\\ \hline   
9 	& 7 &  \np{1101,5}	&   \np{1890}\\ \hline   
10	& 8	&  \np{1128,0}	&   \np{2160} \\ \hline  
11	& 9	&  \np{1175,5}	&   \np{2430}\\ \hline   
12 	&10	&  \np{1250,0}	&   \np{2700}\\ \hline   
13	& 11&  \np{1357,5}	&   \np{2970}\\ \hline   
14	& 12&  \np{1504,0}	&   \np{3240}\\ \hline   
15	& 13&  \np{1695,5}	&   \np{3510}\\ \hline   
16	&14	&  \np{1938,0}  &   \np{3780}\\ \hline   
17	&15	&  \np{2237,5}	&   \np{4050}\\ \hline   
18	&16	&  \np{2600,0}	&   \np{4320}\\ \hline   
19	&17	&  \np{3031,5}	&   \np{4590}\\ \hline   
20	&18	&  \np{3538,0}	&   \np{4860}\\ \hline   
21	&19 &  \np{4125,5}	&   \np{5130}\\ \hline   
22	&20	&  \np{4800,0}	&   \np{5400}\\ \hline   
23	&21	&  \np{5567,5}	&   \np{5670}\\ \hline   
24	&22 &  \np{6434,0}	&   \np{5940}\\ \hline   
25	&23	&  \np{7405,5}	&   \np{6210}\\ \hline   
26	&24	&  \np{8488,0}	&   \np{6480}\\ \hline   
27	&25	&  \np{9687,5}	&   \np{6750}\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center} 
\end{document}