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%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{17 novembre 2016}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2016~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = x\text{e}^{- x} - 0,1.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Étudier les variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$ et dresser le tableau de variations.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution notée $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1].
\end{enumerate}

\medskip

On admet l'existence du nombre réel strictement positif $\beta$ tel que $\alpha < \beta$ et $f(\beta) = 0$.

\smallskip

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle 
$[\alpha~;~\beta]$ dans un repère orthogonal et $\mathcal{C}'$ la courbe symétrique de 
$\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.

\smallskip

\textbf{L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.}

\smallskip

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur lequel seront plantées des tulipes.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.35)(4,0.4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=10](0,-0.3)(4,0.4)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-0.3)(4,0.4)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.1,linewidth=1.25pt](0,0)(0,-0.31)
\uput[u](3.9,0){$x$}\uput[r](0,0.38){$y$}
\uput[u](1.75,0.2){\blue $\mathcal{C}$} \uput[d](1.75,-0.2){\red $\mathcal{C}'$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.112}{3.577}{x 2.71828 x exp div 0.1 sub neg}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Démontrer que la fonction $F$, définie sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$ par

\[F(x) = -(x + 1)\text{e}^{- x} - 0,1x\]

est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\alpha~;~\beta]$.
\item Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à $0,01$ près de l'aire du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$.

On utilisera les valeurs arrondies à $0,001$ près suivantes : $\alpha \approx 0,112$ et 

$\beta \approx  3,577$.
\item Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de
plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La société \og Bonne Mamie \fg{} utilise une machine pour remplir à la chaîne des pots de
confiture. On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque pot de confiture produit associe la
masse de confiture qu'il contient, exprimée en grammes.

Dans le cas où la machine est correctement réglée, on admet que $X$ suit une loi normale de
moyenne $\mu = 125$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $t$ positif, déterminer une relation entre 
		
		$P(X \leqslant 125 - t)$ et $P(X \geqslant 125 + t)$.
		\item On sait que 2,3\,\% des pots de confiture contiennent moins de $121$ grammes de confiture. En utilisant la relation précédente, déterminer 
		
		$P(121 \leqslant X \leqslant 129)$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une valeur arrondie à l'unité près de $\sigma$ telle que 
	
	$P(123 \leqslant X \leqslant 127) = 0,68$.
\end{enumerate}	

\textbf{Dans la suite de l'exercice, on suppose que \boldmath$\sigma = 2$\unboldmath.}

\begin{enumerate}[resume]
\item On estime qu'un pot de confiture est conforme lorsque la masse de confiture qu'il contient est comprise entre $120$ et $130$ grammes.
	\begin{enumerate}
		\item On choisit au hasard un pot de confiture de la production. Déterminer la probabilité que ce pot soit conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
		\item On choisit au hasard un pot parmi ceux qui ont une masse de confiture inférieure à $130$~grammes. Quelle est la probabilité que ce pot ne soit pas conforme?
On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.
 	\end{enumerate}
\item On admet que la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un pot de confiture soit conforme est $0,988$.
	
On choisit au hasard $900$ pots dans la production. On constate que $871$ de ces pots sont
conformes. Au seuil de 95\,\% peut-on rejeter l'hypothèse suivante : \og La machine est bien
réglée \fg{} ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On se place dans le plan complexe rapporté au repère \Ouv.

Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe
$f(z)$ défini par :

\[f(z) = z + \dfrac{1}{z}.\]

On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle A le point d'affixe   $a = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $a$.
		\item Déterminer la forme algébrique de $f(a)$.
	\end{enumerate}
\item Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 1$.
\item Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel.
		\item Montrer que $f(z)$ est un nombre réel.
\end{enumerate}
\item Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

On définit les points I et J respectivement par $\vect{\text{HI}} = \dfrac{3}{4} \vect{\text{HG}}$ et $\vect{\text{JG}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{CG}}$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJK) où K est un point du segment [BF].
\item \textbf{Sur le document réponse donné en annexe, à rendre avec la copie}, tracer, sans justifier, la section du cube par le plan (IJL) où L est un point de la droite (BF).
\item Existe-t-il un point P de la droite (BF) tel que la section du cube par le plan (IJP)
soit un triangle équilatéral ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un apiculteur étudie l'évolution de sa population d'abeilles. Au début de son étude, il évalue à \np{10000} le nombre de ses abeilles.

Chaque année, l'apiculteur observe qu'il perd 20\,\% des abeilles de l'année précédente.

Il achète un nombre identique de nouvelles abeilles chaque année. On notera $c$ ce nombre
exprimé en dizaines de milliers.

On note $u_0$ le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, de cet apiculteur au début de l'étude.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n$ désigne le nombre d'abeilles, en dizaines de milliers, au bout de la $n$-ième année. Ainsi, on a

\[u_0 = 1\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\: u_{n+ 1} = 0,8u_n + c.\]

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose dans cette partie seulement que $c = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Conjecturer la monotonie et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n,\: u_n = 5 - 4 \times 0,8^n$.
\item Vérifier les deux conjectures établies à la question 1. en justifiant votre réponse.

Interpréter ces deux résultats.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'apiculteur souhaite que le nombre d'abeilles tende vers \np{100000}.

On cherche à déterminer la valeur de $c$ qui permet d'atteindre cet objectif.

On définit la suite $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - 5c$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\item En déduire une expression du terme général de la suite $\left(v_n\right)$en fonction de $n$.
\item Déterminer la valeur de $c$ pour que l'apiculteur atteigne son objectif.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats avant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On observe la taille d'une colonie de fourmis tous les jours.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $u_n$ le nombre de fourmis, exprimé en milliers. dans cette population au bout du $n$-ième jour.

Au début de l'étude la colonie compte \np{5000} fourmis et au bout d'un jour elle compte \np{5100} fourmis. Ainsi, on a $u_0 = 5$ et $u_1 = 5,1$.

On suppose que l'accroissement de la taille de la colonie d'un jour sur l'autre diminue de
10\:\% chaque jour.

En d'autres termes, pour tout entier naturel $n$,

\[u_{n+2} - u_{n+1} = 0,9\left(u_{n+1} - u_n\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer, dans ces conditions, que $u_2 = 5,19$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $V_n = \begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_n\end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix}1,9& -0,9\\1& 0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $V_{n+1} = AV_n$.
		
On admet alors que, pour tout entier naturel $n,\: V_n = A^nV_0$.
		\item On pose $P =  \begin{pmatrix}0,9&1\\1&1\end{pmatrix}$. On admet que la matrice $P$ est inversible.
		
À l'aide de la calculatrice, déterminer la matrice $P^{-1}$.
		
En détaillant les calculs, déterminer la matrice $D$ définie par $D = P^{-1} AP$.
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 
		
$A^n = PD^nP^{-1}$.
		
Pour tout entier naturel $n$, on admet que
		
\[A^n = \begin{pmatrix}-10 \times  0,9^{n+1} + 10& 10 \times  0,9^{n+1} - 9\\
- 10 \times 0,9^n + 10& 10 \times  0,9^n - 9\end{pmatrix}.\]
		
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 6 - 0,9^n$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la taille de la colonie au bout du 10\up{e} jour. On arrondira le résultat à une fourmi près.
\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\textbf{ANNEXE de l'exercice 4}

\bigskip

\textbf{Exercice 4, question 1}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,8.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,3.7){K}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,3.7) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}

\bigskip

\textbf{Exercice 4, question 2}

\bigskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,9.25)
\psframe(0.5,0.5)(5,5)
\psline(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)
\psline(5,5)(7,7.2)\psline(7,-0.5)(7,9.25)
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.5,2.7)(7,2.7)
\psline[linestyle=dashed](2.5,2.7)(2.5,7.2)
\uput[ur](2.5,2.7){A} \uput[r](7,2.7){B} \uput[ul](5,0.5){C} 
\uput[ul](0.5,0.5){D} \uput[ul](2.5,7.2){E} \uput[ur](7,7.2){F} 
\uput[r](5,5){G} \uput[ul](0.5,5){H} \uput[u](3.875,5){I}\uput[r](7,8.4){L}
\psdots(5,0.5)(7,2.7)(7,7.2)(2.5,7.2)(0.5,5)(5,5)(3.875,5)(5,3.875)(2.5,2.7)(0.5,0.5)(7,8.4) 
\uput[r](5,3.875){J} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}