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%%%Sujet aimablement fourni par Fabien Pucci
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{19 novembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]19 novembre 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une
bouteille est inférieur à 6,5~mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu
calcaire.

\smallskip

\emph{Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.}

\smallskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'eau minérale provient de deux sources, notées \og source A \fg{} et \og source B \fg.

La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée
de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.\index{probabilités}

\smallskip

La source A fournit 70\,\% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source
B le reste de cette production.

\smallskip

On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère
les évènements suivants :

$A$ : \og La bouteille d'eau provient de la source A \fg

$B$ : \og La bouteille d'eau provient de la source B \fg

$S$ : \og L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap S$.
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ vaut $0,149$.
\item Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la
source A sachant qu'elle est très peu calcaire.
\item Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de \np{1000} bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l'eau très peu calcaire. 

Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95\,\% la proportion
de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production
de la source A après cette intempérie.\index{intervalle de confiance}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d'écart-type $1,6$.\index{loi normale}

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d'écart-type $\sigma$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille
prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre
$6,4$~mg et $9,6$~mg.
\item Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$.
\item Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est
$0,1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.

La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\cos x$ avec $x \in  \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif.

\smallskip

Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On
considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0~;~\frac{a}{2}\right)$ et de rayon $\frac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation
$x = - \frac{\pi}{2}$ et $x =  \frac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d'aire.\index{aire et intégrale}
\item Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-1.7,-0.2)(1.7,1.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.7,-0.2)(1.7,1.7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.57}{1.57}{x RadtoDeg cos 1.3 mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.57}{1.57}{x RadtoDeg cos 1.3 mul}
\psline(1.57,0)(-1.57,0)}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0.65){0.65}
\psdots(0,0.65) \uput[ur](0,0.65){$A$}
\uput[ul](-1.4,0.3){$\mathcal{C}$}\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$}
\uput[d](-1.57,0){$- \dfrac{\pi}{2}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[ul](0,1.3){$a$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par

\[f_a(x) = \text{e}^{x - a}  - 2x + \text{e}^{a}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.\index{fonction exponentielle}
\item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et 
$\left(P_2\right)$ suivantes :

\[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\]

\[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\]

\textbf{Partie A}

\medskip

L'implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ?

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le
repère orthonormé $\left(A~;~ \vect{AB},~ \vect{AD},~ \vect{AE}\right)$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5.5,5.5)
\psframe(2,0.5)(5.3,3.8)%BCGF
\psline(5.3,3.8)(4,4.8)(0.7,4.8)(2,3.8)%GHEF
\psline(0.7,4.8)(0.7,1.5)(2,0.5)%EAB
\psline[linestyle=dashed](0.7,1.5)(4,1.5)(5.3,0.5)%ADC
\psline[linestyle=dashed](4,1.5)(4,4.8)%DH
\uput[l](0.7,1.5){$A$} \uput[d](2,0.5){$B$} \uput[d](5.3,0.5){$C$} \uput[ur](4,1.5){$D$} 
\uput[u](0.7,4.8){$E$} \uput[u](2,3.8){$F$} \uput[ur](5.3,3.8){$G$} \uput[ur](4,4.8){$H$} 
\end{pspicture}
\end{center}\index{géométrie dans l'espace}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).\index{équation de plan}
		\item Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$).
		\item Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point
$K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Le triangle $BDE$ est-il équilatéral ?
\item Soit $M$ un point de l'espace.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$.
		\item En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant  AK^2$.
		\item Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,\index{suite}

 $a_0 =  450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$

\[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\
a_{n+1}	&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70
\end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $d_1$ et $a_1$.
\item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.\index{algorithme}

L'algorithme suivant est proposé :

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline
\emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\
&$D$ et $A$ sont des réels\\
&\\
\emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\
&$A$ prend la valeur 450\\
&Saisir la valeur de $n$\\
&\\
\emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\
&\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ 
&Fin pour\\
&\\

\emph{Sortie} :& Afficher $D$\\
&Afficher $A$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? 
		
Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ?
		\item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats
souhaités.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. 
		
Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.\index{suite géométrique}
		\item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$.
		\item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.\index{suite}
	\end{enumerate}
\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
	
	\[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n  + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$.
		\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$2^n \geqslant  n^2$.
		\item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, 
		
		$0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant  \dfrac{100}{n}$.
		\item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont
présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau.

On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois
noté $0$.

Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
\item[$\bullet~~$]Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
\item[$\bullet~~$]Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$.\index{suite}

Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$.\index{matrices}

On  pose $d_0 =  300$,\: $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$

\[\left\{\begin{array}{l c l}
d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\
a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70\rule[-4mm]{0mm}{8mm}
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n  + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$,
		
		\[U_{n+1} =  AU_n + B.\]
		
	\end{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a
	
\[A^n  =  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad  \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$.
		\item Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n =  U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.

Montrer que pour tout entier naturel $n$,

\[V_{n+1} = AV_n.\]

		\item On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$.

En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$,

\[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\
100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix}  \]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$,\: $2^n \geqslant n^2$.
		
En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$,

\[0 \leqslant  100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\]
		
		\item En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}