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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}} 
\rfoot{\small{décembre 2000}} 
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\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat série S Nouvelle -- Calédonie~\decofourright\\ 
décembre 2000}} \end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans l'espace muni du repère orthonormal direct \Oijk, on considère les 
points : 

A(4~;~0~;~0), B(2~;~4~;~0), C(0~;~6~;~0), S(0~;~0~;~4), E(6~;~0~;~0) et F(0~;~8~;~0). 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Réaliser une figure comportant les points définis dans l'exercice que l'on complètera au fur et à mesure. 
\item Montrer que E est le point d'intersection des droites (BC) et (OA). 
\item On admettra que F est le point d'intersection des droites (AB) et (OC). 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées du produit vectoriel 
$\vect{\text{SE}} \wedge \vect{\text{EF}}$. 
En déduire l'équation cartésienne du plan (SEF). 
		\item Calculer les coordonnées du point A$'$ barycentre des points pondérés (A,~1) et (S,~3). 
		\item On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A$'$. 
Vérifier qu'une équation cartésienne de P est $4x + 3y + 6z -22 = 0$. 
	\end{enumerate} 
\item Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide 
SOABC respectivement aux points O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les coordonnées de O$'$. 
		\item Vérifier que C$'$ a pour coordonnées $\left(0,~2,~\dfrac{8}{3}\right)$. 
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B$'$. 
	\end{enumerate} 
\item Vérifier que O$'$A$'$B$'$C$'$ est un parallélogramme. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation 

\[ z^2 - 2z + 2 = 0.\] 

Préciser le module et un argument de chacune des solutions. 
		\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation 

\[(-\text{i}z + 3\text{i} + 3)^2 - 2(-\text{i}z+3\text{i}+3)+2 = 0.\] 

	\end{enumerate} 
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. 
On considère les points A, B et C d'affixes respectives

$z_{\text{A}} = 1 + \text{i},~ z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},~z_{\text{C}}= 2z_{\text{B}}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer les formes algébriques de $z_{\text{B}}$ et 
$z_{\text{C}}$. 
		\item Placer les points A, B et C. 
		\item Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ($\mathcal{C}$) de centre I d'affixe 3 et de rayon $\sqrt{5}$. 
		\item Calculer $\dfrac{z_{\text{C}} - 3}{z_{\text{A}} - 3}$ ; en déduire la nature du triangle IAC. 
		\item Le point E est l'image du point O par la translation de vecteur $2 \vect{\text{IC}}$. Déterminer l'affixe du point E. 
		\item Le point D est l'image du point E par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. 

Déterminer l'affixe du point D. 
		\item Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill spécialité}

\medskip

Dans tout l'exercice $x$ et $y$ désignent des entiers naturels non nuls vérifiant $x < y$. 

S est l'ensemble des couples $(x, y)$ tels que PGCD$(x~;~y) = y - x$. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer le PGCD(363~;~484). 
		\item Le couple (363~;~484) appartient-il à S ? 
	\end{enumerate} 
\item Soit $n$ un entier naturel non nul ; le couple $(n~;~ n + 1)$ appartient-il à S ? 

Justifier votre réponse. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $(x~;~y)$ appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel $k$ non nul tel que $x = k(y - x)$ et $y = (k + 1)(y-x)$. 
		\item En déduire que pour tout couple $(x~;~y)$ de S on a : 

PPCM $(x~;~y) = k(k + 1)(y - x).$ 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 
		\item En déduire l'ensemble des couples $(x~;~ y)$ de S tels que 
		
PPCM $(x~;~y) = 228$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 10 points}

\medskip

Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal 
\Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction numérique $u$ définie sur $\R$ par 

\[u(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x\] 

et on désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la limite de $u$ en $- \infty$. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ réel, on a $u(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1} + x}$. 

En déduire la limite de $u$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $[u(x)+2x]$ tend vers $0$ quand $x$ tend vers $- \infty$. 
		\item Montrer que pour tout $x$ réel, on a $u(x) > 0$. En déduire le signe de
		
$[u(x) + 2x]$.
 
		\item Interpréter graphiquement ces résultats. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $u$ est définie sur $\R$ par 

\[u'(x) = \dfrac{- u(x)}{\sqrt{x^2 + 1}}.\] 

		\item Étudier les variations de la fonction $u$. 
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) et son asymptote oblique. 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \displaystyle\int_{0}^x \dfrac{-1}{\sqrt{t^2 + 
1}}\:\text{d}t.\] 

et ($\Gamma$) sa courbe représentative. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Justifier que pour tout $x$ réel on a $f(x) = \ln u(x)$ en utilisant la question \textbf{A 3. a}.
\item Déterminer les limites de $f$ en $- \infty$ , puis en $+ \infty$ et 
étudier les variations de~$f$. 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe ($\Gamma$) au point d'abscisse $0$. 
		\item On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) = f(x) + x$. Montrer que 
$\varphi$ est croissante sur $\R$ et que $\varphi(0) = 0$. En déduire 
la position de la courbe ($\Gamma$) par rapport à la tangente (T). 
	\end{enumerate} 
\item Tracer sur le même graphique la courbe ($\Gamma$) et la 
tangente (T). 
\end{enumerate} 

\bigskip 

\textbf{Partie C} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On pose $\alpha = \dfrac{1 - \text{e}^2}{2\text{e}}$, montrer que $u(\alpha) = \text{e}$ et en déduire $f(\alpha)$. 

\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer 
$\displaystyle\int_{\alpha}^0 \ln \left(\sqrt{x^2 + 1} - 
x\right)\:\text{d}x$. 

\item Soit $V$ une primitive de $u$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par 
$g(t) = \dfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que $u\left(\dfrac{\text{e}^t - \text{e}^{-t}}{2}\right) = \text{e}^{-t}$. 
		\item Justifier que $V \circ g$ est dérivable sur $\R$ et que sa dérivée est définie par 

\[\left(V \circ g\right)'(t) = \dfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}.\] 

		\item En déduire que $V(0)-V(\alpha) = (V \circ g)(0) - (V \circ g)(-1) = \displaystyle\int_{-1}^0 \dfrac{1 + \text{e}^{-2t}}{2}\: \text{d}t$, 

puis que $\displaystyle\int_{\alpha}^0 u(x)\:\text{d}x = 
\dfrac{\text{e}^2 + 1}{4}$. 
	\end{enumerate} 
\item On admet que pour tout $x$ réel, $f(x) < u(x)$. 

Déduire des questions précédentes l'aire, en unité d'aires, du domaine limité par les courbes ($\mathcal{C}$), ($\Gamma$) et les droites d'équation $x = \alpha$ et $x = 0$. 
\end{enumerate}
\end{document}