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%Sujet aimablement fourni par Fabien Pucci
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{mars 2004}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]mars 2004}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère le quadrilatère ABCD tel que :

\[\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \alpha \quad [2\pi],~\left(\vect{\text{CD}},~\vect{\text{CB}}\right) = \beta \quad [2\pi],~0 < \alpha < \pi,~0 < \beta < \pi.\]

On construit les triangles équilatéraux DCP, DAQ, BAM et BCN tels que :

\[\left(\vect{\text{DC}},~\vect{\text{DP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \left(\vect{\text{DA}},~\vect{\text{DQ}}\right) =  \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

\[\left(\vect{\text{BA}},~\vect{\text{BM}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\quad \text{et}\quad \left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BN}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi]\]

Soit $a, b, c$ et $d$ les affixes respectives des points A, B, C et D, $m, n, p$ et $q$ les affixes respectives des points M, N, P et Q.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer les relations suivantes :

\[m = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - b) + b, \qquad n = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - b) + b,\]
 
\[p = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(c - d) + d, \qquad q = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}(a - d) + d.\]
 
\item En utilisant les relations précédentes :
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme.
		\item Démontrer que l'on a :

\[\left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{QP}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{AC} = \text{QP}\]

\[\left(\vect{\text{NP}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{3} \quad [2\pi], \quad \text{et} \quad \text{NP} = \text{BD}.\]

	\end{enumerate}
\item Démontrer que MNPQ est un carré si, et seulement si, les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD vérifient :

\[\text{AC} = \text{BD} \quad \text{et} \quad \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{BD}}\right) = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\]

où $k$ est un entier relatif.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

\parbox[l]{0.52\textwidth}{On considère le cube ABCDEFGH
ci-contre.

O$_{1}$ et O$_{2}$ sont les centres des carrés
ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle EBD.

Soit $m$ un nombre réel et $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés :

\[\{(\text{E}~;~1),~(\text{B}~;~1 - m),~(\text{G}~;~2m - 1),~(\text{D}~;~1 - m)\}\]} \hfill
\parbox[r]{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.25cm}\begin{pspicture}(-0.4,-0.4)(3.6,3.4)
\psframe(0,0)(2,2) %ACGF
\psline(0,2)(1.3,3)(3.3,3)(2,2)%FEHG
\psline(3.3,3)(3.3,1)(2,0)%HDC
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1.3,1)(1.3,3)(0,0)(3.3,1)(1.3,3)%BAEBDE
\psline[linestyle=dashed](3.3,1)(1.3,1)(2,2)%DAG
\uput[ul](1.3,1){A } \uput[dl](0,0){B } \uput[dr](2,0){ C} \uput[dr](3.3,1){D } 
\uput[ul](1.3,3){E } \uput[ul](0,2){F } \uput[ul](2,2){G } \uput[ur](3.3,3){H } 
\end{pspicture}
}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier l'existence du point $G_{m}$.
\item Préciser la position du point G$_{1}$.
\item Vérifier que G$_{0}$ = A. En déduire que les points A, I et G sont alignés.
\item Démontrer  que  $\vect{\text{A}G_{m}} = m\vect{\text{AO}_{2}}$. En déduire l'ensemble des points $G_{m}$ lorsque $m$ parcourt l'ensemble des nombres réels.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que les points A, $G_{m}$, E et O$_{1}$, sont coplanaires.
		\item Déterminer la  valeur de $m$ pour laquelle $G_{m}$ se trouve sur la droite
(EI).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette question, l'espace est rapporté au repère orthonormal
$\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EBD). En
déduire une équation cartésienne du plan ABD.
\item Déterminer les coordonnées du point $G_{m}$.
\item Pour quelles valeurs de $m$, la distance de $G_{m}$ au plan (EBD) est-elle
égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[ f(x] = 1 + \text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-2x}\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthogonal \Oij, (unités graphiques : 3~cm sur l'axe des abscisses et 8~cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit le polynôme $P$ défini sur $\R$ par $P(X) = 1 + X - 2X^2.$

Étudier le signe de $P(X)$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ sur $\R$.
		\item Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Qu'en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item Vérifier que $f(x) = \text{e}^{-2x}\left(\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} - 2\right)$, puis déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$, calculer $f'(x)$.
		\item Montrer que $f'(x)$ a le même signe que $\left(4 - \text{e}^x\right)$, puis étudier le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ n'ont qu'un point d'intersection $A$ dont on déterminera les coordonnées.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport a la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$.
\item Tracer les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B étude d'une suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire, en unités d'aire, de la  partie de plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des ordonnées et la droite  $\mathcal{D}$.
\item On considère la suite $(u_{n})$ définie sur $\N^*$ par :

\[u_{n} = \displaystyle\int_{(n - 1) + \ln 2}^{n + \ln 2} \left[f(x) - 1\right]\:\text{d}x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est à termes positifs.
		\item Donner une interprétation géométrique de $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le sens de variation de $f$, montrer que,
pour tout $n \geqslant 2$ :

si $x \in [(n - 1) + \ln 2~;~n + \ln 2]$ alors

\[f(n + \ln 2) - 1 \leqslant f(x) - 1 \leqslant f[(n - 1) + \ln  2] - 1.\]

		\item En déduire que, pour tout $n,~ n \geqslant  2$, on a :

\[f(n + \ln 2) - 1 \leqslant u_{n} \leqslant f\left[(n -1) + \ln 2 \right] -1.\]

		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang 2.
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour $n > 0$, par

\[S_{n} = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Écrire $S_{n}$ à l'aide d'une intégrale.
		\item Interpréter géométriquement $S_{n}$.
		\item Calculer $S_{n}$ et déterminer la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}