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\begin{document}
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\rhead{\small  A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S  }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2008~\decofourright\\[5pt](spécialité)}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]- \infty~;~6[$ par 

\[f(x) = \dfrac{9}{6 - x}\]

On définit pour tout entier naturel $n$ la suite $\left(U_{n}\right)$ par

\[\left\{\begin{array}{l c l}
U_{0}	&=	&-3\\
U_{n+1}	&=	&f\left(U_{n}\right)\\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item  La courbe représentative de la fonction $f$  est donnée sur la feuille jointe accompagnée de celle de la droite d'équation $y = x$. Construire, sur cette feuille annexe les points $M_{0}\left(U_{0}~;~ 0\right),~
M_{1}\left(U_{1}~;~0\right),~ M_{2}\left(U_{2}~;~0\right),~ M_{3}\left(U_{3}~;~0\right)$ et $M_{4}\left(U_{4}~;~0\right)$.

Quelles conjectures peut-on formuler en ce qui concerne le sens de variation et la convergence éventuelle de la suite $\left(U_{n}\right)$ ?
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que si $x < 3$ a alors 	$\dfrac{9}{6 - x} < 3$.
		
En déduire que $U_{n} < 3$ pour tout entier naturel $n$.
		\item  Étudier le sens de variation de la suite $\left(U_{n}\right)$.
		\item  Que peut-on déduire des questions 2. a. et 2. b. ?
	\end{enumerate}
\item  On considère la suite $\left(V_{n}\right)$ définie par $V_{n} = \dfrac{1}{U_{n} - 3}$ 	pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique de raison  $- \dfrac{1}{3}$.
		\item  Déterminer $V_{n}$ puis $U_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item  Calculer la limite de la suite $\left(U_{n}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{PARTIE A :  Question de cours}

\medskip

Quelles sont les propriétés de compatibilité de la relation de congruence avec l'addition, la multiplication et les puissances ?
 
Démontrer la propriété de compatibilité avec la multiplication. 
  
\medskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
On note 0, 1, 2, \ldots , 9,~$ \alpha,~\beta$, les chiffres de l'écriture d'un nombre en base $12$. Par exemple :

\[\overline{\beta\alpha 7}^{12} = \beta \times 12^2 + \alpha \times 12 +  7 = 11 \times 12^2 + 10 \times 12 + 7 = 1\:711~\text{en base}~10\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $N_{1}$ le nombre s'écrivant en base 12 :
		\[N_{1} = \overline{\beta1 \alpha}^{12}\]
Déterminer l'écriture de $N_{1}$ en base 10.
		\item   Soit $N_{2}$ le nombre s'écrivant en base 10 :
\[N_{2} = \np{1131} = 1\times 10^3  + 1\times 10^2 + 3 \times 10
+ 1\]
Déterminer l'écriture de $N_{2}$ en base $12$.
	\end{enumerate}

\medskip
		
\textbf{Dans toute la suite}, un entier naturel $N$ s'écrira de manière générale en base 12 :

\[N = \overline{a_{n}\cdots a_{1}a_{0}}^{12}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $N \equiv a_{0}\quad  (3)$. En déduire un critère de divisibilité par $3$ d'un nombre écrit en base 12.
		\item À l'aide de son écriture en base $12$, déterminer si $N_{2}$ est divisible par 3. Confirmer avec son écriture en base $10$.
	 \end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $N \equiv  a_{n} + \cdots + a_{1}+a_{0} \quad (11)$. En déduire un critère de divisibilité par $11$ d'un nombre écrit en base 12.
		\item À l'aide de son écriture en base 12, déterminer si $N_{1}$ est divisible par $11$. Confirmer avec son écriture en base $10$.
	\end{enumerate}
\item Un nombre $N$ s'écrit $\overline{x4y}^{12}$.	Déterminer les valeurs de $x$ et de $y$ pour lesquelles $N$ est divisible par $33$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10\,\% n'ont pas survécu, 75\,\%
  deviennent rouges et les 15\,\% restant deviennent gris.
\item[$\bullet~$] pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5\,\% n'ont
pas survécu, 65\,\% deviennent rouges et les 30\,\% restant deviennent gris.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une animalerie achète les alevins, à l'âge de deux mois : 60\,\% au premier éleveur, 40\,\% au second.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité que le poisson soit toujours vivant un mois plus tard est de $0,92$.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
		\item  Sachant que le poisson est gris à l'âge de trois mois, quelle est la probabilité qu'il provienne du premier élevage ?
 	\end{enumerate}
\item Une personne choisit au hasard et de façon indépendante $5$ alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu'un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item L'animalerie décide de garder les alevins jusqu'à l'âge de trois mois, afin qu'ils soient vendus avec leur couleur définitive. Elle gagne $1$~euro si le poisson est rouge, $0,25$~euro s'il est gris et perd $0,10$~euro s'il ne survit pas.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance mathématique, arrondie au centime.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère \Oijk{} orthonormé. Soit $t$ un nombre réel.
On donne le point A$(-1~;~2~;~3)$	et la droite $\mathcal{D}$ de système d'équations paramétriques :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&9 + 4t\\
y&=&6 + \phantom{4}t\\
z&=&2 + 2t\\
\end{array}\right.\]

Le but de cet exercice est de calculer de deux façons différentes la distance $d$ entre le point A et la droite $\mathcal{D}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ et passant par A.
		\item Vérifier que le point B$(-3~;~3~;~-4)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
		\item Calculer la distance $d_{\text{B}}$ entre le point B et 
le plan $\mathcal{P}$.
		\item Exprimer la  distance $d$ en fonction de $d_{\text{B}}$ et de la distance AB. En déduire la valeur exacte de $d$.
	\end{enumerate}
\item Soit $M$ un point de la droite $\mathcal{D}$. Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$. Retrouver alors la valeur de  $d$.
\end{enumerate}
		
\newpage
		
\begin{center}
\textbf{ANNEXE (à rendre avec la copie)}
		
\bigskip
		
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(6,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-3,-1)(6,7)
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\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1}{6}{x}
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\uput[dr](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}