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%%%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat S}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (obligatoire)  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]5 mars 2015}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthogonal \Oij.

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

On note $\Delta_a$ la droite d'équation $y = ax$ et $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction exponentielle dans le repère orthogonal \Oij.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et $\Delta_a$ suivant les valeurs de $a$.

Pour cela. on considère la fonction $f_a$ définie pour tout nombre réel $x$ par

\[f_a(x) = \text{e}^x - ax.\]

On admet pour tout réel $a$ que la fonction $f_a$ est dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas particulier } $a = 2$

La fonction $f_2$ est donc définie pour tout $x$ réel par $f_2(x) = \text{e}^x - 2x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $f_2$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations sur $\R$ (\emph{on ne demande pas de déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition}.
		\item En déduire que $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point d'intersection.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude du cas général où $a$ est un réel strictement positif}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f_a$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Étudier les variations de la fonction $f_a$ sur  $\R$. Montrer alors que le minimum sur $\R$ de la fonction $f_a$ est $a - a \ln a$.
		\item Étudier le signe de $a - a \ln a$ suivant les valeurs du nombre réel strictement positif $a$.
		\item Déterminer selon les valeurs du réel $a$ le nombre de points communs à $\Gamma$ et $\Delta_a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.

À la sortie de fabrication, 5\,\% d'entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées. Les puces restantes sont livrées aux clients.

On dit qu'une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à \np{1000}~heures. On observe que 2\,\% des puces livrées ont une durée de vie courte.

On note $L$ l'évènement \og La puce est livrée \fg.

On note C l'évènement \og La puce a une durée de vie courte c'est-à-dire inférieure ou égale à \np{1000}~heures \fg.

Étant donné deux évènements $A$ et $B$, on note $P_A(B)$ la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On tire au hasard une puce fabriquée par l'entreprise.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur $P_L(C)$.
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à \np{1000}~heures?
		\item Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de fabrication ?
	\end{enumerate}

\medskip
			
\emph{Dans la suite de l'exercice on s'intéresse seulement aux puces livrées aux clients.}

\medskip

\item On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d'une telle puce.

On suppose que $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\lambda = \dfrac{ - \ln (0,98)}{\np{1000}}$.
		\item Calculer la probabilité qu'une puce ait une durée de vie supérieure à 
		
		\np{10000}~heures. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
		\item Calculer $P(\np{20000} \leqslant X \leqslant \np{30000})$. On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\item Les ingénieurs de l'entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On
suppose qu'avec ce nouveau procédé la probabilité qu'une puce livrée donnée ait une durée
de vie courte est égale à $0,003$.
	
On prélève au hasard \np{15000}~puces prêtes à être livrées- On admettra que ce prélèvement de
\np{15000}~puces revient à effectuer un tirage avec remise de \np{15000}~puces parmi l'ensemble de toutes les puces électroniques produites par l'entreprise et prêtes à être livrées.
	
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet
échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = \np{15000}$ et 
		
$p = 0,003$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $Y$.
		\item Calculer, à $10^{-3}$ près, la probabilité $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormé \Oijk. On désigne par $\R$ l'ensemble des nombres
réels.

\emph{On rappelle que deux droites de l'espace sont dites perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales et sécantes.}

\medskip

Soient le point $A_1$ de coordonnées $(0~;~2~;~-1)$ et le vecteur $\vect{u_1}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.

On appelle $D_1$ la droite passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vect{u_1}$.

On appelle $D_2$ la droite qui admet pour représentation paramétrique 

$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 + k\\y&=& - 2k\\ z&=&2\phantom{+ k}
\end{array}\right.\:(k \in \R).$

Le but de l'exercice est de prouver l'existence d'une droite perpendiculaire à la fois à $D_1$ et $D_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de $D_1$.
		\item Donner un vecteur directeur de $D_2 \left(\text{on le notera}\: \vect{u_2}\right)$.
		\item Le point $A_2(- 1~;~4~;~2)$ appartient-il à $D_2$ ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que les droites $D_1$ et $D_2$ sont non coplanaires.
\item Soit le vecteur $\vect{v}\begin{pmatrix}- 6\\- 3\\4\end{pmatrix}$. On définit la droite $\Delta_1$ passant par $A_1$ et de vecteur directeur $\vect{v}$ et la
droite $\Delta_2$ passant par $A_2$ et parallèle à $\Delta_1$.
	
Justifier que les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires.

\medskip
	
\textbf{Dans la suite, on admettra que les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont perpendiculaires.}
	
\medskip

\item Soit $P_1$ le plan défini par les droites $D_1$ et $\Delta_1$ et $P_2$ le plan défini par les droites $D_2$ et $\Delta_2$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}17\\- 22\\9\end{pmatrix}$. Vérifier que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$.
		\item Montrer que $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite d'intersection des plans $P_1$ et $P_2$. On admettra que le vecteur $\vect{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
	
Utiliser les questions précédentes pour prouver qu'il existe une droite de l'espace
perpendiculaire à la fois à $D_1$ et à $D_2$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On note $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ les suites réelles définies, pour tout entier naturel $n$, par

\[u_0 = 1 \:\:v_0 = 0\:\:\text{et} \quad \left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&\sqrt{3}u_n - v_n\\
v_{n+1}&=&u_n + \sqrt{3}v_n
\end{array}\right..\]

\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs de $u_1,\:v_1,\:u_2,\:v_2$.
\item On souhaite construire un algorithme qui affiche les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier naturel $N$ donné.
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}		
\begin{tabularx}{0.675\linewidth}{|l|X|}\hline
Entrée : 		&$N$ est un nombre entier\\
Variables :		&$K$ est un nombre entier\\
				&$S$ est un nombre réel\\
				&$T$ est un nombre réel\\
Initialisation :&Affecter 1 à $S$\\
				&Affecter 0 à $T$\\
				&Affecter 0 à $K$\\
Traitement :	&Tant que $K < N$\\
				&\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}S - T$ à $S$\\
				&\hspace{1cm}Affecter $S + \sqrt{3} T$ à $T$\\
				&\hspace{1cm}Affecter $K + 1$ à $K$\\
				&Fin Tant que\\
Sortie :		&Afficher $S$\\
				&Afficher $T$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Faire fonctionner cet algorithme pour $N = 2$. Pour cela, on recopiera et
complétera le tableau de variables ci-dessous :

\begin{center}		
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$S$			&$T$		&$K$\\ \hline
1			&0			&0\\ \hline
$\sqrt{3}$	&$\sqrt{3}$	&1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
			&			&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item L'algorithme précédent affiche t-il les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$ donné ?

Dans le cas contraire, écrire sur la copie une version corrigée de l'algorithme
proposé qui affiche bien les valeurs de $u_N$ et $v_N$ pour un entier $N$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout entier naturel $n,\: z_n = u_n + \text{i}v_n$.

On note $a$ le nombre complexe $a = \sqrt{3} + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$
		
		\[z_{n+1} = az_n.\]\index{suite géométrique}
		
		\item Écrire $a$ sous forme exponentielle.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,
\renewcommand\arraystretch{1.7}		
		\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_n&=&2^n \cos \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)\\
v_n&=&2^n \sin \left(\dfrac{n\pi}{6}\right)
		\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}