%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
%%%Sujet aimablement fourni par Olivier Capelle
%%% Tapuscrit Denis Vergès
\usepackage{ulem}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,,pstricks-add}
\usepackage{colortbl}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat S},
pdftitle = {Nouvelle-Calédonie mars 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{mars 2016}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]mars 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Parmi les argentées 60\,\% représentent le château de Blois, 30\,\% le château de Langeais, les autres le château de Saumur.

Parmi les dorées 40\,\% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.

On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :\index{probabilités}

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og la médaille tirée est argentée \fg{} ;
\item[ ] $D$ l'évènement \og la médaille tirée est dorée \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Blois \fg{} ;
\item[ ] $L$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Langeais \fg{} ;
\item[ ] $S$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Saumur \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais.
		\item Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$.
		\item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ?
	\end{enumerate}
\item Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit
argentée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.

On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$.\index{loi normale}

On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg.

Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
\item La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
		\item Sachant que cette machine produit 6\,\% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au
millième de $\sigma$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~16] par

\[f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\]

Dans un repère du plan \Oij, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.\index{aire et intégrale}

Ces courbes sont données en \textbf{annexe 1}.

Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le repère orthonormé \Oijk de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation

\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
\item Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique

\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 12 - 2t\\
y &=& 9 - 2t\\ 
z &=&t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\]
\index{géométrie dans l'espace}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les
coordonnées.
		\item Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$.
		\item Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que
	
\[- 10 \leqslant  m \leqslant 10\quad \text{et}\quad  - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\]

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
		\item Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si

\[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
		
		\item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline		
\emph{Variables :}	&$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement :}	&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
					&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
					&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
					&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
					&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
					&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabularx}		
		\end{center}
		
Quel est le rôle de cet algorithme ?
		\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1),\: (0~;~1) et (5~;~- 4)$.
		
Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_0 = 1\quad  \text{et}\quad   z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\]\index{complexes}

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé \Ouv{} de l'annexe 2.

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
		\item En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
\[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
\index{suite de complexes}		
		\item Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter géométriquement $d_n$.
		\item Calculer $d_0$.
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,

\[z_{n+2} - z_{n+1}  = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$  est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,

		\[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
		
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
		
\[\left|z_{n+1}\right|^2  = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
		\item Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre
avec la copie.
		\item Justifier cette construction.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine.

Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering \arraybackslash\tiny}X|}}\hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K	&L	&M	&N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10	&11	&12	&13	&14	&15	&16	&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24	&25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine).\index{division euclidienne}

Exemple :

M correspond à $x = 12$

$7 \times 12 + 5 = 89$

Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L,
donc la lettre M est codée par la lettre L.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Coder la lettre L.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.\index{arithmétique}
		\item Démontrer la réciproque de l'implication précédente.
		\item En déduire que $y \equiv  7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv  15y + 3\:\:[26]$.
 	\end{enumerate}
\item  À l'aide de la question précédente décoder la lettre F.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 
On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$.
 
Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n  - \dfrac{5}{6}$.
 
On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n,$

$ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n  - \dfrac{3}{14}$.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les
312 couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose
d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le
chiffrement affine de la partie A.

Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2\fg{} fois le chiffrement
affine à la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement à la lettre T et enfin \og 6 \fg{} fois le chiffrement à la lettre H.

Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6.

Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ.

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2}

\bigskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18.8496}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{18.8496}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\red $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip
\textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4}

\bigskip

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.37037;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1.1547;30){$A_1$} \uput[ur](1.3333;60){$A_2$} \uput[ur](1.5396;90){$A_3$}\uput[ur](1.7778;120){$A_4$}\uput[ur](2.37037;180){$A_6$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}