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%tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle--Calédonie novembre 2004~\decofourright }}

\medskip

L'utilisation de la calculatrice est autorisée.

\medskip

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, on considère l'application $f$ du plan dans lui-même qui, à tout point $M$  d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 4z.\]

\begin{enumerate}
\item	Soient A et B les points d'affixes 
$z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et $z_{\text{B}} = 3 + \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		 \item Calculer les affixes des points A$'$ et B$'$ images des points A  et B par $f$.
		\item On suppose que deux points ont la même image par $f$. Démontrer qu'ils sont confondus ou que l'un est l'image de l'autre par une symétrie centrale que l'on précisera.
	\end{enumerate}
\item Soit I le point d'affixe $- 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que O$M$I$M'$ est un parallélogramme si et seulement si 

$z^2 - 3z + 3 = 0$.
		\item Résoudre l'équation $z^2 - 3z + 3 = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $\left(z'+ 4\right)$ en fonction de $(z - 
2)$. En déduire une relation entre $\left|z' + 4\right|$ et
$|z - 2|$ puis entre arg$\left(z'+ 4\right)$ et arg$(z - 2)$.
		\item On considère les points J et K d'affixes respectives 
$z_{\text{J}} = 2$ et  $z_{\text{K}} = - 4$.

Démontrer que tous les points $M$ du cercle ($\mathcal{C}$) de centre J et de rayon 2 ont leur image $M'$ sur un même cercle que l'on déterminera.
		\item Soit E le point d'affixe $z_{\text{E}} = - 4 -3\text{i}$.

Donner la forme trigonométrique de $(z_{\text{E}} + 4)$ et  à l'aide du \textbf{3. a.} démontrer qu'il existe deux points dont l'image par $f$ est le point E.

Préciser sous forme algébrique l'affixe de ces deux points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} 
\textbf{Cet exercice est un questionnaire  à choix multiples (Q.C.M.)}\end{center}

\textsl{Les réponses  à cet exercice sont  à inscrire sur la feuille jointe en annexe. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de 
réponse.}

\textbf{Pour chacune des cinq questions une ou plusieurs réponses sont exactes. Le candidat doit inscrire V (vrai) ou F (faux ) dans la case correspondante.}

Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, 3 réponses correctes rapportent 1 point et 2 réponses correctes rapportent $\frac{1}{2}$ point.

\vspace{0,2cm}

\parbox{0.45\textwidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,3.5)
%\psgrid
\psline(2,2)(0,2.4)(1.4,3.1)(3.4,2.7)(2,2)(2,0)%GFEHGC
\psline(0,0.4)(2,0)(3.4,0.7)(3.4,2.7)%BCDH
\psline(0,2.35)(0,0.4)
\psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(0,0.4)%AB
\psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(1.4,3.1)%AE
\psline[linestyle=dotted,arrowsize=3pt 3,linewidth=1pt]{->}(1.4,1.1)(3.4,0.7)%AD
\uput[d](1.4,1.1){A} \uput[dl](0,0.4){B} \uput[d](2,0){C} \uput[dr](3.4,0.7){D}
\uput[u](1.4,3.1){E} \uput[l](0,2.4){F} \uput[u](2,2){G} \uput[ur](3.4,2.7){H}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox{0.5\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de côté 1.

On choisit le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$}

\bigskip

On appelle I et J les milieux respectifs des segments [EF] et [ FG].

L est le barycentre de $\{(\text{A},~1)~;~(\text{B},~3)\}$.

Soit ($\pi$) le plan d'équation $4x - 4y + 3z - 3 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les coordonnées de L sont :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~0~;~0\right)$&	\textbf{b.~~} $\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~0\right)$
& \textbf{c.~~} $\left(\dfrac{2}{3}~;~0~;~0\right)$\\
\end{tabularx}
\item Le plan ($\pi$) est le plan

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} (GLE) & \textbf{b.~~} (LEJ)  & \textbf{c.~~} (GFA)
\end{tabularx}

\item Le plan parallèle au plan ($\pi$) passant par I coupe la 
droite (FB) en M de coordonnées

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{4}\right)$ &	\textbf{b.~~} 
$\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{5}\right)$ & \textbf{c.~~} 
$\left(1~;~0~;~\dfrac{1}{3}\right)$\\
\end{tabularx}

\item

\textbf{a.~~} Les droites (EL) et (FB) sont sécantes en un point N  qui est le symétrique de M par rapport à B.

\textbf{b.~~} Les droites (EL) et (IM) sont parallèles.

\textbf{c.~~} Les droites (EL) et (IM) sont sécantes.

\item Le volume du tétraèdre FIJM est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{36}$ &	\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{48}$	&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{24}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}.\]

On note ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal \Oij, l'unité graphique est $2$~cm sur l'axe des abscisses et 5 cm sur l'axe des ordonnées.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^x- x - 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $g$ sur 
$\R$. En déduire le signe de $g$.
\item Justifier que pour tout $x,\:\left(\text{e}^x - x\right)$ est strictement positif.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $- \infty$.
		\item Interpréter graphiquement les résultats précédents.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x),\: f'$ désignant la fonction dérivée de $f$.
		\item étudier le sens de variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de la tangente (T)  à la courbe ($\mathcal{C}$)  au point d'abscisse $0$.
		\item À l'aide de la \textbf{partie A}, étudier la position de la courbe ($\mathcal{C}$) 
par rapport à la droite (T).
	\end{enumerate}
\item Tracer la droite (T) les asymptotes et la courbe ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Exercice de spécialité}

\medskip

Dans cet exercice,  $a$ et  $b$  désignent des entiers strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
 	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$  et  $v$  tels que  $a u + b v = 1$ alors les nombres  $a$  et  $b$  sont premiers entre eux.
		\item En déduire que si  $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$, alors $a$  et $b$ sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}

\item On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs  $(a~;~b)$  tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer  $a$ lorsque  $a = b$.
		\item Vérifier que  (1~;~1), (2~;~3)  et  (5~;~8) sont trois solutions particulières.
		\item Montrer que si  $(a~;~b)$  est solution et si  $a < b$ , alors  $a^2 - b^2 < 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si  $(x~;~y)$  est une solution différente de  (1~;~1) alors $(y - x~;~ x)$ et  $(y~;~y + x)$  sont aussi des solutions.
		\item Déduire de  \textbf{2. b.} trois nouvelles solutions.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite de nombres entiers strictement positifs $\left(a_{n}\right)_{n}$ définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier  $n , n \geqslant  0,~ a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$.

Démontrer que pour tout entier  $n \geqslant 0,~\left(a_{n}~;~a_{n+1}\right)$  est solution.

En déduire que les nombres  $a_{n}$  et  $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies, pour tout entier naturel $n$, par :

\[\left\{\begin{array}{l c c}
u_0 & =&3\\
u_{n+1} & =& \dfrac{u_{n} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right. \qquad 
\left\{\begin{array}{l c c}
v_0 & =&4\\
v_{n+1} & =& \dfrac{u_{n+1} + v_{n}}{2}\\
\end{array} \right.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1,~v_1,~u_2$ et $v_2$.

\item Soit la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :  $w_n = v_n - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$.
		\item Exprimer $w_n$ en fonction de $n$ et préciser la limite de la suite $\left(w_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Après avoir étudié le sens de variation de suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
\item On considère à présent la suite $\left(t_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $t_n = \dfrac{u_n  + 2v_n}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(t_n\right)$ est constante.
		\item En déduire la limite des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Dans cet exercice,  $a$  et  $b$  désignent des entiers strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs $u$ et  $v$ tels que  

\[au + bv = 1\]

alors les nombres $a$ et  $b$  sont premiers entre eux.
		\item En déduire que si  $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$ , alors $a$ et $b$  sont premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs  $(a~;~b)$ tels que $\left(a^2 + ab - b^2\right)^2 = 1$. Un tel couple sera appelé solution.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ lorsque  $a = b$.
		\item Vérifier que (1~;~1), (2~;~3) et (5~;~8) sont trois solutions particulières.
		\item Montrer que si  $(a~;~b)$  est solution et si  $a \neq  b$ , alors  $a^2 - b^2 < 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $(x~;~y)$ est une solution différente de  (1~;~1) alors $(y - x~;~x)$  et  $(y~;~y + x)$ sont aussi des solutions.
		\item Déduire de  \textbf{2. b.}  trois nouvelles solutions
	\end{enumerate}
\item On considère la suite de nombres entiers strictement positifs 
$\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ définie par $a_{0} = a_{1} = 1$ et pour tout entier $n,~n \geqslant 0,~a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$.

Démontrer que pour tout entier  $n \geqslant  0,\:
\left(a_{n}~;~a_{n +1}\right)$ est solution.

En déduire que les nombres  $a_{n}$  et  $a_{n+1}$ sont premiers entre eux.
\end{enumerate}
\end{document}