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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S  }
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{16 novembre 2006}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie  novembre 2006~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5\,\% de ce cheptel (ou 5 pour mille).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux.
	
Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique.
		\item On désigne par $A$ l'évènement \og aucun animal n'est malade parmi les 10 \fg.
		
On désigne par $B$ l'évènement \og au moins un animal est malade parmi les 10 \fg.

Calculer les probabilités de $A$ et de $B$.
	\end{enumerate}
\item  On sait que la probabilité qu'un animal ait un test  positif à cette maladie sachant qu'il est malade est $0,8$. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,9$. 

On note $T$ l'évènement \og avoir un test positif à cette maladie \fg{} et $M$ l'évènement \og être atteint de cette maladie \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé. 
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $T$.
		\item  Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip  
  
\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

On considère l'équation (E)

\[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0 \]

où $z$ désigne un nombre complexe.
  
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que (E) admet une solution réelle, note $z_{1}$.
		\item  Déterminer les deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait :
		
\[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4  = \left(z - z_{1}\right)(z -  2 -  2\text{i})(az + b)\]

	\end{enumerate}
\item  Résoudre (E).
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $1,~ 2 + 2\text{i}$ et $1 - \text{i}$.
\begin{enumerate}
\item  Représenter A, B et C.
\item  Déterminer le module et un argument de $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}}$.	 En déduire la nature du triangle OBC.
\item  Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation.
\item  Soit D l'image de O par la rotation d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$	et de centre C. Déterminer l'affixe de D.
\item  Quelle est la nature de OCDB ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. (unité 1~cm).

On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note B, C,  D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$. Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
\item  Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant
\[\left\{- 3~;~- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~- \dfrac{3}{2} -  \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $r$(F).
		\item  Quelle est la nature du polygone ABCDEF ?
	\end{enumerate}
\item Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle  $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'angle et le rapport de $s'$. En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$.
		\item  Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ?
		\item  Déterminer l'écriture complexe de $s' \circ s$.
	\end{enumerate}
\item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à C.
	\begin{enumerate}
		\item  Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A$'$ par $s' \circ s$.
		\item  Calculer l'affixe du point A$'$. Retrouver alors le résultat du \textbf{a.} en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :

\[u_{0} = \dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad u_{n+1}	=	\dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right)\]

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\]
Étudier le sens de variation de $f$, et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij.	(On prendra comme unité 2~cm).

		\item Utiliser le graphique précédent pour construire les points A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O}~;\vect{\imath}\right)$
d'abscisses respectives $u_{0},~u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$.
	\end{enumerate}
\item	
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \geqslant \sqrt{2}$.	
		\item  Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2} ,~f(x) \leqslant x$.
		\item  En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $1$.
		\item  Prouver qu'elle converge.
	\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation

\[x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\]

En déduire sa valeur.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun tous les candidats}

\medskip

\textbf{Première partie}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les points A(0~;~0~;~3),  B(2~;~0~;~4), C$(-1~;~1~;~2)$ et D$(1~;~-4~;~0)$
\item les plans $(P_{1})~ :~7x + 4y - 3z + 9 = 0$ et $(P_{2}) : x - 2y = 0$.
\item les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x 	&=&- 1 + \phantom{2}t\\
y 	&=&- 8 + 2t\\
z	&=&- 10 + 5t\\
\end{array}\right. 	t \in \R \qquad 	\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&7 + 2t'\\
y&=&8 + 4t'\\
z&=&8 - \phantom{2}t'\\
\end{array}\right. t' \in \R\]

\emph{Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ;  l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.}
 
\medskip

{\footnotesize  \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&a.&	b.&	e.&	d.\\ \hline
1. Le plan $(P_{1})$ est&	Le plan (ABC)&	Le plan (BCD) & 	Le plan (ACD)&	Le plan (ABD)\\ \hline
2. La droite $(\Delta_{1})$ contient&	Le point A&	Le point B&	Le point C&	Le point D\\ \hline
3. Position relative de $(P_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&	$(\Delta_{1})$ est strictement	parallèle a $(P_{1})$&	$(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ coupe $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ est orthogonale à $(P_{1})$\\ \hline
4. Position relative de  $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ et  $(\Delta_{2})$ sont confondues&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$	) sont 	 sécantes&$(\Delta_{1})$ et  $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires.\\ \hline
5. L'intersection de $(P_{1})$ et de $(P_{2})$ est une droite dont une représentation paramétrique est & \scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t\\
y&=&- 2 + \frac{1}{2}t\\
z&=&3t\\
 \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&2t\\
y&=&\phantom{2}t\\
z&=&3 + 6t\\
	\end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r}x&=&5t\\y&=&1 - 2t\\z&=&t\\
	\end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-1 + t\\y&=&2 + t\\ z&=&-3t\\
	\end{array}\right.$\\ \hline
	\end{tabularx}}
	
\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la droite (D) passant par A(0~;~0~;~3) et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~0~;~-1)$ et la droite (D$'$) passant par B(2~;~0~;~4)  et dont un vecteur directeur est $\vect{v}(0~:~1~;~1)$.

L'objectif est de démontrer qu'il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D$'$), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère un point $M$ appartenant à (D) et un point $M'$ appartenant à (D$'$), définis par $\vect{\text{A}M} = a\vect{u}$	 et $\vect{\text{B}M'} = b\vect{v}$ , où $a$ et $b$ sont de nombres réels.

Exprimer les coordonnées de $M$, de $M'$ puis du vecteur $\vect{MM'}$	en fonction de $a$ et $b$.
\item Démontrer que la droite ($MM'$) est perpendiculaire à (D) et à (D$'$) si et seulement si le couple $(a~;~b)$ est solution du système 

\[ \left\{\begin{array}{l c r}
 2a + b&=&1\\
 a + 2b&=&-1\\
\end{array}\right.\]

\item Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points $M$ et $M'$, que nous noterons ici H et H', tels que la droite (HH$'$) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D$'$). Montrer que HH$' = \sqrt{3}$ unités de longueur.
\item On considère un point $M$ quelconque de la droite (D) et un point $M'$ quelconque de la droite (D$'$).
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que

\[MM'^2=	 (a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 3.\]

		\item  En déduire que la distance $MM'$ est minimale lorsque $M$ est en H et $M'$ est en H$'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}