%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie novembre 2006}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{graphicx} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{16 novembre 2006}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie novembre 2006~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d'un pays. Elle touche 0,5\,\% de ce cheptel (ou 5 pour mille). \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu'il soit malade ? \item \begin{enumerate} \item On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'animaux malades parmi eux. Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. \item On désigne par $A$ l'évènement \og aucun animal n'est malade parmi les 10 \fg. On désigne par $B$ l'évènement \og au moins un animal est malade parmi les 10 \fg. Calculer les probabilités de $A$ et de $B$. \end{enumerate} \item On sait que la probabilité qu'un animal ait un test positif à cette maladie sachant qu'il est malade est $0,8$. Lorsqu'un animal n'est pas malade, la probabilité d'avoir un test négatif est $0,9$. On note $T$ l'évènement \og avoir un test positif à cette maladie \fg{} et $M$ l'évènement \og être atteint de cette maladie \fg. \begin{enumerate} \item Représenter par un arbre pondéré les données de l'énoncé. \item Calculer la probabilité de l'évènement $T$. \item Quelle est la probabilité qu'un animal soit malade sachant que le test est positif ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip On considère l'équation (E) \[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = 0 \] où $z$ désigne un nombre complexe. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que (E) admet une solution réelle, note $z_{1}$. \item Déterminer les deux nombres complexes $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre complexe $z$ on ait : \[z^3 - (4 + \text{i})z^2 + (7 + \text{i})z - 4 = \left(z - z_{1}\right)(z - 2 - 2\text{i})(az + b)\] \end{enumerate} \item Résoudre (E). \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $1,~ 2 + 2\text{i}$ et $1 - \text{i}$. \begin{enumerate} \item Représenter A, B et C. \item Déterminer le module et un argument de $\dfrac{2 + 2\text{i}}{1 - \text{i}}$. En déduire la nature du triangle OBC. \item Que représente la droite (OA) pour le triangle OBC ? Justifier votre affirmation. \item Soit D l'image de O par la rotation d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et de centre C. Déterminer l'affixe de D. \item Quelle est la nature de OCDB ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. (unité 1~cm). On construira une figure que l'on complétera au fur et mesure. \medskip \begin{enumerate} \item Soit A le point d'affixe 3, et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. On note B, C, D, E et F les images respectives des points A, B, C, D et E par la rotation $r$. Montrer que B a pour affixe $\dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}$. \item Associer à chacun des points C, D, E et F l'une des affixes de l'ensemble suivant \[\left\{- 3~;~- \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~\dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}~;~- \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\text{i}\right\}\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer $r$(F). \item Quelle est la nature du polygone ABCDEF ? \end{enumerate} \item Soit $s$ la similitude directe de centre A, de rapport $\dfrac{1}{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Soit $s'$ la similitude directe de centre E transformant F en C. \begin{enumerate} \item Déterminer l'angle et le rapport de $s'$. En déduire l'angle et le rapport de $s' \circ s$. \item Quelle est l'image du point D par $s' \circ s$ ? \item Déterminer l'écriture complexe de $s' \circ s$. \end{enumerate} \item Soit A$'$ le symétrique de A par rapport à C. \begin{enumerate} \item Sans utiliser les nombres complexes, déterminer $s(\text{A}')$ puis l'image de A$'$ par $s' \circ s$. \item Calculer l'affixe du point A$'$. Retrouver alors le résultat du \textbf{a.} en utilisant l'écriture complexe de $s' \circ s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[u_{0} = \dfrac{1}{2} \quad \text{et}\quad u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_{n} + \dfrac{2}{u_{n}}\right)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\] Étudier le sens de variation de $f$, et tracer sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij. (On prendra comme unité 2~cm). \item Utiliser le graphique précédent pour construire les points A$_{0}$,~ A$_{1}$,~ A$_{2}$ et A$_{3}$ de l'axe $\left(\text{O}~;\vect{\imath}\right)$ d'abscisses respectives $u_{0},~u_{1},~u_{2}$ et $u_{3}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul $u_{n} \geqslant \sqrt{2}$. \item Montrer que pour tout $x \geqslant \sqrt{2} ,~f(x) \leqslant x$. \item En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante à partir du rang $1$. \item Prouver qu'elle converge. \end{enumerate} \item Soit $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. Montrer que $\ell$ est solution de l'équation \[x = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{2}{x}\right)\] En déduire sa valeur. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points} \textbf{Commun tous les candidats} \medskip \textbf{Première partie} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les points A(0~;~0~;~3), B(2~;~0~;~4), C$(-1~;~1~;~2)$ et D$(1~;~-4~;~0)$ \item les plans $(P_{1})~ :~7x + 4y - 3z + 9 = 0$ et $(P_{2}) : x - 2y = 0$. \item les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ définies par leurs systèmes d'équations paramétriques respectifs \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=&- 1 + \phantom{2}t\\ y &=&- 8 + 2t\\ z &=&- 10 + 5t\\ \end{array}\right. t \in \R \qquad \left\{\begin{array}{l c r} x&=&7 + 2t'\\ y&=&8 + 4t'\\ z&=&8 - \phantom{2}t'\\ \end{array}\right. t' \in \R\] \emph{Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.} \emph{Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à $0$.} \medskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{} &a.& b.& e.& d.\\ \hline \textbf{1.} Le plan $(P_{1})$ est& Le plan (ABC)& Le plan (BCD) & Le plan (ACD)& Le plan (ABD)\\ \hline \textbf{2.} La droite $(\Delta_{1})$ contient& Le point A& Le point B& Le point C& Le point D\\ \hline \textbf{3.} Position relative de $(P_{1})$ et de $(\Delta_{2})$& $(\Delta_{1})$ est strictement parallèle a $(P_{1})$& $(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ coupe $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ est orthogonale à $(P_{1})$\\ \hline \textbf{4.} Position relative de $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ est strictement parallèle à $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont confondues&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ ) sont sécantes&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires.\\ \hline \textbf{5.} L'intersection de $(P_{1})$ et de $(P_{2})$ est une droite dont une représentation paramétrique est & \scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&t\\ y&=&- 2 + \frac{1}{2}t\\ z&=&3t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&\phantom{2}t\\ z&=&3 + 6t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r}x&=&5t\\y&=&1 - 2t\\z&=&t\\ \end{array}\right.$&\scriptsize$\left\{\begin{array}{l c r} x&=&-1 + t\\y&=&2 + t\\ z&=&-3t\\ \end{array}\right.$\\ \hline \end{tabularx}} \bigskip \textbf{Deuxième partie} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On considère la droite (D) passant par A(0~;~0~;~3) et dont un vecteur directeur est $\vect{u}(1~;~0~;~-1)$ et la droite (D$'$) passant par B(2~;~0~;~4) et dont un vecteur directeur est $\vect{v}(0~:~1~;~1)$. L'objectif est de démontrer qu'il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D$'$), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite. \medskip \begin{enumerate} \item On considère un point $M$ appartenant à (D) et un point $M'$ appartenant à (D$'$), définis par $\vect{\text{A}M} = a\vect{u}$ et $\vect{\text{B}M'} = b\vect{v}$ , où $a$ et $b$ sont de nombres réels. Exprimer les coordonnées de $M$, de $M'$ puis du vecteur $\vect{MM'}$ en fonction de $a$ et $b$. \item Démontrer que la droite ($MM'$) est perpendiculaire à (D) et à (D$'$) si et seulement si le couple $(a~;~b)$ est solution du système \[ \left\{\begin{array}{l c r} 2a + b&=&1\\ a + 2b&=&-1\\ \end{array}\right.\] \item Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points $M$ et $M'$, que nous noterons ici H et H', tels que la droite (HH$'$) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D$'$). Montrer que HH$' = \sqrt{3}$ unités de longueur. \item On considère un point $M$ quelconque de la droite (D) et un point $M'$ quelconque de la droite (D$'$). \begin{enumerate} \item En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que \[MM'^2= (a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 3.\] \item En déduire que la distance $MM'$ est minimale lorsque $M$ est en H et $M'$ est en H$'$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}