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%%%Sujet aimablement fourni par Sylvie Frieden et Emmanuelle Pernot
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{mars 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt] obligatoire  mars 2012}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : }

\medskip

On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par 

\[P(z) = z^3 - \left(2 + \text{i}\sqrt{2}\right)z^2 + 2\left(1 + \text{i}\sqrt{2}\right)z - 2\text{i}\sqrt{2}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_{0} = \text{i}\sqrt{2}$ est solution de l'équation $P(z) = 0$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $P(z ) = \left( z - \text{i}\sqrt{2}\right) \left(z^2 + az + b\right)$. 
		\item En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation $P(z) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
	 
\medskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. On prendra 2~cm pour unité graphique.
 
On considère les points A, B, J et K d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}}  = 1 + \text{i},\quad z_{\text{B}} = 1 - \text{i},\quad  z_{\text{J}} = \text{i}\sqrt{2}\quad \text{et}\:\: z_{\text{K}} = \text{e}^{\frac{3\text{i}\pi}{4}}.\] 

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice. 
\item Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l'affixe de L est égale à $- \sqrt{2}$. 
\item Montrer que les points A, B,  J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 
\item Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = - 1 + \text{i}$. On considère !a rotation $r$ de centre O qui transforme J en D. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$. 
		\item Soit C l'image du point L par la rotation $r$. Déterminer l'affixe du point C. 
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On dispose de deux urnes et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

L'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule noire.
 
L'urne $U_{2}$ contient trois boules rouges et deux boules noires.
 
Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{1}$, sinon il tire au hasard une boule dans l'urne $U_{2}$.
 
On considère les évènements suivants :
 
$A$ : \og obtenir 1 en lançant le dé \fg 

$B$ : \og obtenir une boule noire \fg.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
		\item Montrer que la probabilité d'obtenir une boule noire est $\dfrac{3}{8}$. 
		\item Sachant que l'on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d'avoir obtenu 1 en lançant le dé. 
	\end{enumerate}
\item On convient qu'une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l'urne d'où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième. 
		\item On donne le tableau suivant: 

\medskip

\hspace{-1cm}\begin{footnotesize}
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$k$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
$P(X < k)$ &\np{0,0091}&\np{0,0637}  &\np{0,2110} &\np{0,4467} &\np{0,6943} &\np{0,8725} &\np{0,9616} &\np{0,9922}& \np{0,9990}&\np{0,9999}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{footnotesize}
\medskip

Soit $N$ un entier compris entre 1 et 10. On considère l'évènement : \og la personne gagne au moins $N$ parties \fg.
 
À partir de quelle valeur de $N$ la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à $\dfrac{1}{10}$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{VRAI ou FAUX ?}

\medskip 

\emph{Pour chacun des énoncés suivants, indiquer si la proposition correspondante est vraie ou fausse et proposer une justification de la réponse choisie.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Énoncé 1 :} Soit $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ une suite non constante de réels.
 
Pour tout entier $n$, on pose $u_{n} = \sin \left(a_{n}\right)$. 

\emph{Proposition $1$ : \og On peut choisir la suite $\left(a_{n}\right)_{n \in \N}$ telle que la suite $\left(u_{n}\right)_{n \in \N}$ converge vers $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \fg} 
\item \textbf{Énoncé 2 :} Dans le plan complexe d'origine O, on considère, pour tout entier naturel non nul $n$, les points $M_{n}$ d'affixe $z_{n} = \text{e}^{\frac{2\text{i}n\pi}{3}}$.
 
\emph{Proposition $2$ : \og Les points \emph{O}, $M_{1}$ et $M_{20}$ sont alignés. \fg} 
\item \textbf{Énoncé 3 :} On considère une fonction $f$, sa dérivée $f^{\prime}$ et son unique primitive $F$ s'annulant en $x = 0$. Les représentations graphiques de ces trois fonctions sont données (dans le désordre) par les courbes ci-dessous. 

\emph{Proposition $3$ : \og La courbe $3$ ci-dessous est la représentation graphique de $f$ \fg.} 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6.4,-5)(12.8,5.5)
\psaxes[Dx=50,Dy=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-6.4,-5)(12.8,5)
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{12.8}{0.5  x mul RadtoDeg   sin 4   mul  neg}
\rput(-3,5){Courbe 1}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\end{pspicture}
 
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-6.4,-2.2)(14.8,3)
\psaxes[Dx=50,Dy=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-6.4,-2.2)(14.8,3)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-6.4}{14.8}{0.5  x mul RadtoDeg   cos 2 mul}
\rput(-3.5,3){Courbe 2}\uput[d](-6.28,0){$- \frac{\pi}{2}$}
\uput[d](6.28,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](12.56,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1.cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3.1,-1.5)(7.1,1.5)
\psaxes[Dx=50,Dy=0.5,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-3.1,-1.4)(6.7,1.3)
\rput(-1.5,1.4){Courbe 3} \uput[d](-3.14,0){$- \pi/2$}
\uput[d](3.14,0){$\pi/2$}\uput[d](6.28,0){$\pi$}\uput[dr](0,0){$0$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{-3.1}{6.7}{x  RadtoDeg   sin }
\end{pspicture} 

\item \textbf{Énoncé 4 :} On considère, dans un repère orthonormé de l'espace, le point A(0~;~0~;~3) et le plan P d'équation $2x - y + z = 0$. 

\emph{Proposition $4$ : \og La sphère de centre \emph{A} et de rayon $2$ et le plan \emph{P} sont sécants. \fg} 
\item \textbf{Énoncé 5 :} On considère l'équation différentielle (E) : $y' + 2y = 4$. Parmi les quatre courbes ci-dessous, l'une représente la solution de (E) vérifiant 

$y(0) = 0$. 

\emph{Proposition 5 : \og La courbe représentative de la solution de (E) vérifiant $y(0) = 0$ est la courbe $C_{4}$. \fg} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-7.5,-6)(8.5,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7.5,-6)(8.5,6)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-7.5}{2.2}{2.71828 x exp 2 sub}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.25pt](-4,-6.2)(-3,-3.4)(-2,-1.75)(0,0)(2,0.6)(4,0.85)(7,1)(8.5,1.05)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt]{-3.95}{8.5}{2 2  2.72818 x 2 mul exp div  sub}
%\psplot[linewidth=1.25pt]{-3.95}{9.5}{x dup mul 0.05 mul 0.1 x mul add}
%\pscurve(-7.5,-0.8)(-4,-0.5)(-2,-0.3)(0,0)(2,0.5)(4,1.2)(6,2.3)(8,4)(8.5,4.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{-7.5}{8.5}{2.71828 0.20118 x mul exp 1 sub}
\rput(8.2,4.75){$C_{2}$}\rput(8.2,2.3){\cyan $C_{3}$}\rput(8.2,0.6){\red $C_{4}$}\rput(2.4,5.4){\blue $C_{1}$}
\uput[dr](0,0){0}\uput[d](8.3,0){$x$}\uput[l](0,5.8){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~1] par $f(x) = x\text{e}^x$.
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij.
 
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1].
 
Sur la courbe $\mathcal{C}$, tracée en annexe, on a placé les points A et B d'abscisses respectives $a$ et $1$. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe $\mathcal{C}$. On a placé les points A$'(a~;~0)$ et B$'(1~;~0)$. 

Le but de l'exercice est de déterminer la valeur du nombre réel $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée en annexe est minimale. 

\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_{0}^1  x\text{e}^x\:\text{d}x = 1$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'aire du triangle OAA$'$ et montrer que l'aire du trapèze ABB$'$A$'$ est égale à 
		
$\dfrac{1}{2}\left(- a^2 \text{e}^a + a\text{e}^a - a\text{e} + \text{e}\right)$.
	 
		\item En déduire que l' aire de la partie du plan hachurée est égale à 
$\dfrac{1}{2}\left(a \text{e}^a - a\text{e} + \text{e} - 2\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[g(x) = x\left(\text{e}^x - \text{e}\right) + \text{e} - 2.\]
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+ \infty[$. 

Vérifier que la fonction dérivée seconde $g''$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par

$g''(x) = (2 + x) \text{e}^x$. 
\item En déduire les variations de la fonction $g'$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Établir que l'équation $g'(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
 
Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. 
\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de $a$. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{CETTE PAGE N'EST PAS À RENDRE AVEC LA COPIE} 

\vspace{2cm}

\psset{xunit=10cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.25)(1.15,3)
\multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(1.15,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(-0.05,-0.1)(1.15,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1}{2.71828 x exp x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{0.5}{2.71828 x exp x mul}
\psline(0.5,0.824361)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0.5}{1}{2.71828 x exp x mul}
\psline(1,2.71828)(0.5,0.824361)}
\uput[dr](0.5,0.8244){A}\uput[r](1,2.71828){B}\uput[dr](0,0){O}\uput[d](0.7,1.35){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){A$'$}\uput[dl](1,0){B$'$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.824361)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,0)(1,2.71828)
\uput[d](1.1,0){$x$}\uput[l](0,2.9){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}