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\def\Oij{$\left(\text{O};~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O};~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}}
\rfoot{\small{mars 2017}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie mars 2017~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = x\text{e}^{- x}\]

et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Justifier toutes les informations du tableau de variations de $f$ donné ci-dessous. 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,2.5)
%\psframe(7,2.5)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
%\psline(2,0)(2,2.5)
%\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.1,1.9){$0$} \uput[u](4.5,1.9){$1$} \uput[u](6.65,1.9){$+ \infty$}
%\rput(1,1){$f(x)$}
%\uput[u](2.1,0){$0$}\uput[d](4.5,1.9){$\frac{1}{\text{e}}$}\uput[u](6.85,0){$0$}
%\psline{->}(2.4,0.4)(4.1,1.5) \psline{->}(4.9,1.5)(6.6,0.4)      
%\end{pspicture}
%\end{center}    
  
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & +\infty \\ 
%\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\dfrac{1}{\text{e}}} \rule{0pt}{20pt} &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	  
  
  
\item  Soit $F$ la fonction définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[F(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}.\] 

Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{Partie B}

\medskip 

Soit $a$ un nombre réel tel que $0 < a < 1$. On considère la droite $D_a$ d'équation $y = ax$ et $M$ le point d'intersection de la droite $D_a$ avec la courbe $\mathcal{C}_f$. On note $x_M$ l'abscisse du point $M$.

On note $\mathcal{H}(a)$ l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c'est-à-dire du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ au-dessus de la droite $D_a$ et entre les droites d’équation $x = 0$ et $x = x_M$. 

Le but de cette partie est d'établir l'existence et l'unicité de la valeur de $a$ telle que $\mathcal{H}(a) = 0,5$ puis d'étudier un algorithme. 

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.2)(5,0.5)
\psset{yMaxValue=0.5}
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(5,0.5)
\uput[l](0,0.1){0,1} \uput[d](1,0){1}
\uput[dr](2,0.4){$D_a$} 
\uput[u](4.8,0.02){\blue $\mathcal{C}_f$} 
\uput[u](1.61,0.33){$M$}
\uput[l](0,0.368){$\frac{1}{\text{e}}$}
\psline[linestyle=dashed](0,0.368)(1,0.368)(1,0)
\def\f{x 2.71828 x exp div}
\def\g{0.2 x mul}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.61}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.61}{0}{\g}
\closepath
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{4}{\g}
\psline(0,0.1)(0.05,0.1)    
\end{pspicture}
\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Prouver que la droite $D_a$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont un unique point d'intersection $M$ distinct de l'origine. 
\end{enumerate}

On admet dans la suite de l'exercice que le point $M$ a pour abscisse 
$x_M = - \ln a$ et que la courbe $\mathcal{C}_f$ est située au-dessus de la droite $D_a$ sur l'intervalle $[0~;~- \ln (a)]$. 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que $\mathcal{H}(a) = a \ln (a) - \frac{1}{2}a(\ln (a))^2 + 1 - a$. 
\item Soit la fonction $\mathcal{H}$ définie sur ]0~;~1] par $\mathcal{H}(x) = x \ln (x) - \frac{1}{2}x(\ln (x))^2 + 1 - x$. 

On admet que $\mathcal{H}$ est dérivable sur ]0~;~1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous. 

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(6,2.5)
%\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2)
%\psline(2,0)(2,2.5)
%\psline(2.15,0)(2.15,2.5)\psline(2.1,0)(2.1,2.5)
%\uput[u](1,1.9){$x$} \uput[u](2.3,1.9){$0$} \uput[u](5.85,1.9){$1$}
%\rput(1,1){$\mathcal{H}(x)$}
%\uput[d](2.3,2){$1$}\uput[u](5.85,0){$0$}
%\psline{->}(2.5,1.6)(5.5,0.4)      
%\end{pspicture}
%\end{center}        

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{4cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *2{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & 1 \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  & \vline\:\vline \quad \Rnode{max}{1} &    &    \\
\mathcal{H}(x) &\vline\:\vline &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\:\vline     & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha \in ]0~;~1[$ tel que $\mathcal{H}(\alpha) = 0,5$. 

\item On considère l'algorithme présenté ci-dessous.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|lX|}\hline
VARIABLES : 		&$A$, $B$ et $C$ sont des nombres ;\\
								& $p$ est un entier naturel.\\ 
INITIALISATION :	& Demander la valeur de $p$\\
								& $A$ prend la valeur $0$\\ 
								&$B$ prend la valeur 1\\ 
TRAITEMENT :		& Tant que $B - A > 10^{-p}$\\
							&\hspace{0.25cm}
								\begin{tabular}{|l} 
								$C$ prend la valeur $(A + B)/2$\\ 
								Si $\mathcal{H}(C) > 0,5$\\
								\hspace{0.5cm}
									\begin{tabular}{|l}
										Alors $A$ prend la valeur de $C$\\
										Sinon $B$ prend la valeur de $C$\\
									\end{tabular}\\
								Fin de la boucle Si \\
								\end{tabular}\\
							&Fin de la boucle Tant que\\								 
SORTIE : 			&Afficher $A$ et $B$.\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Que représentent les valeurs $A$ et $B$ affichées en sortie de cet algorithme ? 

\item  Donner un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$. 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Répondre à chacune des affirmations ci-dessous par Vrai ou Faux en justifiant la réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
\\ 
Les deux questions sont indépendantes l'une de l'autre.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de vie $T$ (exprimée en années) d'un appareil électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ où $\lambda > 0$. 

On sait qu'un tel appareil a une durée de vie moyenne de quatre ans. 

La probabilité que cet appareil fonctionne deux années de plus sachant qu'il a déjà fonctionné trois ans est d'environ $0,39$ à $0,01$ près. 
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv. 

L'équation $z^3 - 3z^2 + 3z = 0$ admet trois solutions dans l’ensemble des nombres complexes $\C$, qui sont les affixes de trois points formant un triangle équilatéral. 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Des étudiants d'une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme. 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Sur les 34 sujets de l'examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A. 

Peut-on rejeter au seuil de $95\,\%$ l'affirmation suivante : \og il y a une chance sur deux que le thème A soit évalué le jour de l'examen \fg ? 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

Le thème A reste pour beaucoup d'étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors proposé pour travailler ce thème. 

Lors de l'examen, on a constaté que s'il y a un exercice portant sur le thème A: 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$30\,\%$ des étudiants n'ayant pas suivi le stage ne traitent pas l'exercice ; 
\item[$\bullet~~$]$\dfrac{5}{6}$ des étudiants ayant suivi le stage l'ont traité. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait de plus que $20\,\%$ des étudiants participent au stage. 

\smallskip

Lors des résultats de l'examen, un étudiant s'exclame : \og  Je n'ai pas du tout traité le thème A \fg. 

Quelle est la probabilité que cet étudiant ait suivi le stage ? On arrondira le résultat à $0,001$ près. 

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip  

On suppose que la variable aléatoire $T$, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour la composition de cet examen, suit la loi normale d'espérance $\mu = 225$ et d'écart-type 
$\sigma$ où $\sigma > 0$. 

La probabilité qu'un étudiant finisse son examen en moins de $235$~minutes est de $0,98$. 

Déterminer une valeur approchée de $\sigma$ à $0,1$ près. 

$\left(\text{On pourra, par exemple, intro\-duire la variable aléatoire }\: Z =  \frac{T - 225}{\sigma}\right)$. 

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip  

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par 

\[\left\{\begin{array}{r !{=} l}
u_0&0\\
u_{n+1}&\dfrac{1}{2 - u_n}\text{ pour tout entier naturel }\:n \geqslant 0.
\end{array}\right.\]  

On obtient à l'aide d'un tableur les premiers termes de cette suite: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 	&A	&B					&C\\ \hline   
1	&	&$u_n$  			&$u_n$ \\ \hline      
2	&$n$&(en valeurs exactes)&(en valeurs approchées)\\ \hline
3	&0	&0 					&0\\ \hline     
4	&1	&1/2				&0,5 \\ \hline    
5	&2	&2/3				&\np{0,666666667}\\ \hline     
6	&3	&3/4 				&0,75 \\ \hline        
7	&4	&4/5				&0,8 \\ \hline      
8	&5	&5/6				&\np{0,833333333}\\ \hline      
9	&6	&6/7				&\np{0,857142857} \\ \hline    
10	&7	&7/8				&0,875 \\ \hline  
11	&8	&8/9				&\np{0,888888889}\\ \hline     
12	&9	&9/10				&0,9\\ \hline  
13	&10	&10/11				&\np{0,909090909}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}   

Prouver que la suite $\left(u_n\right)$ converge. 

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip  

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O~;~I,~J,~K). 

On considère les points 

\[\text{A}(-1~;~-1~;~0),\: \text{B}(6~;~-5~;~1),\: \text{C}(1~;~2~;~-2) \:\:\text{et S}(13~;~37~;~54).\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les points A, B et C définissent bien un plan. 
		\item Prouver que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}5\\16\\29\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		\item En déduire une équation cartésienne du plan (ABC). 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la nature du triangle ABC. 
		\item Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle ABC est, en unités d'aire, $\dfrac{\sqrt{\np{1122}}}{2}$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires. 
		\item La droite $(\Delta)$ perpendiculaire au plan (ABC) passant par le point S coupe le plan (ABC) en un point noté H. 

Déterminer les coordonnées du point H. 
	\end{enumerate}
\item Déterminer le volume du tétraèdre SABC. 

\emph{On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par :}

 \[\dfrac{\text{\emph{Aire\: de\: la\: base}} \times  \text{\emph{hauteur}} }{3}.\]
\end{enumerate}
\end{document}