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%%%Sujet aimablement fourni par Nathalie Leroy
%%% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{14 novembre 2013}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S  Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[7pt]14 novembre 2013}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\] \index{fonction exponentielle} 

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude d'une fonction auxiliaire}
	\begin{enumerate}
		\item Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0~;~ +\infty[$ par

\[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\]

Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
		\item Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$ tel que $g(a) = 0$.

Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703~;~0,704[.
		\item Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.

Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) =  \dfrac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
		\item Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel

$m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
		\item Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}

\[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad	 v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Variables :}& 	$N$ est un entier\\
&$U, V, W$ sont des réels\\
&$K$ est un entier \\
\textbf{Début :}& Affecter $0$ à $K$\\
&Affecter 2 à $U$ \\
&Affecter 10 à $V$\\
&Saisir $N$\\
&Tant que $K < N$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $K + 1$ à $K$\\
&\hspace{0,6cm} Affecter $U$ à $W$\\ 
&\hspace{0,6cm} Affecter $\dfrac{2U+V}{3}$ à $U$\\
&\hspace{0,6cm}	Affecter $\dfrac{W+3V}{4}$	à $V$\\
&Fin tant que\\
&Afficher $U$ \\
&Afficher $V$\\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On  exécute cet algorithme en saisissant $N = 2$. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous donnant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$K$& $W$&$U$&$V$\\ \hline
0&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}X|}{\quad}&&\\ \hline
1&&&\\ \hline
2&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PARTIE B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
		\item Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$.

Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. 
		\item Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
		\item En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
	\end{enumerate}
\item Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
\item Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante.

En déduire que la limite  commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième} 

\medskip

Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres.

Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9~mm ou supérieur à 11~mm.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale \index{loi normale} d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.

Montrer qu'une valeur approchée à \np{0,0001} près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est \np{0,0124}. On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
\item On met en place un contrôle de production tel que 98\,\% des billes hors norme sont écartés et 99\,\% des billes correctes sont conservées.

On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : \og la bille choisie est aux normes \fg, $A$ l'évènement : \og la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
		\item Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes.

On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \np{0,0124}.

On admettra que prendre au hasard un sac de $100$~billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$~billes dans l'ensemble des billes fabriquées.

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$~billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne exactement deux billes hors norme ? 
\item Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$~billes contienne au plus une bille hors norme ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.

\medskip

Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\index{complexes}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Proposition} : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
\item Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.

\textbf{Proposition} : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\C$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
\item \textbf{Proposition} : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
\item Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier  naturel supérieur ou égal à $2$.
 
\textbf{Proposition}: si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés. 
\item Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$. 

\textbf{Proposition} : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté \og $\star$ \fg{} considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :

\medskip

$\bullet~~$Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur \og $\star$ \fg le nombre 26.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{14}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$&$b$&$c$&$d$&$e$&$f$&$g$&$h$&$i$&$j$&$k$&$l$&$m$&$n$\\ \hline
0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip \medskip
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}X}\cline{1-13}
$o$&$p$&$q$&$r$&$s$&$t$&$u$&$v$&$w$&$x$&$y$&$z$&$\star$&\\ \cline{1-13}
14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26&\\ \cline{1-13}
\end{tabularx}
\end{center}

On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur \og $\star$ \fg{} a pour rang $26$.

$\bullet~~$Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

$\bullet~~$Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$.

Exemple :

$s \to 18, \quad  g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.

En déduire les caractères invariants dans ce codage.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$  modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27.

En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
\item Proposer une méthode de décodage.
\item Décoder le mot \og $vfv$ \fg.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe\\ Exercice 3}}

\vspace{2cm}

\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&A&B\\ \hline
1&$d$	&$P(X < d)$\\ \hline
2&0		&3,06E-138\\ \hline
3&1		&2,08E-112\\ \hline
4&2		&2,75E-89\\ \hline
5&3		&7,16E-69\\ \hline
6&4		&3,67E-51\\ \hline
7&5		&3,73E-36\\ \hline
8&6		&7,62E-24\\ \hline
9&7		&3,19E-14\\ \hline
10&8	&2,87E-07\\ \hline
11&9  	&\np{0,00620967}\\ \hline
12&10	&0,5\\ \hline
13&11	&\np{0,99379034}\\ \hline
14&12	& \np{0,99999971}\\ \hline
15&13 	&1\\ \hline
16&14	&1\\ \hline
17&15	&1\\ \hline
18&16	&1 \\ \hline
19&17	&1\\ \hline
20&18	&1\\ \hline
21&19 	&1\\ \hline
22&20	&1\\ \hline
23&21	&1\\ \hline
24&22	&1\\ \hline
25&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\emph{Copie d'écran d'une feuille de calcul}
\end{center}
\end{document}