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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2003}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie  S~\decofourright\\[7pt]novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un 
carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une année ($n$ est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire $S_n$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique  de $S_n$ notée E$\left(S_n\right)$ est égale à 10.

Soit $p$ la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $p$, puis justifier l'égalité 
P$\left(S_n = k\right) = {n \choose k} \left(\dfrac{10}{n}\right)^k
\left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k}$  où $k$ est un entier 
naturel tel que  $0 \leqslant k \leqslant n$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir l'égalité	$\ln \left[\text{P}(S_n 
= 0)\right] = -10 \times \dfrac{\ln \left(1 - \frac{10}{n}\right)}{\frac{-10}{n}}$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien ; 
en déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = 0\right) = \text{e}^{-10}$.
		\item Démontrer que P$\left(S_n =k+1\right) = \text{P}\left(S_n = k\right) \times \dfrac{n-k}{n-10} \times \dfrac{10}{k+1}$, où $k$ est un entier naturel  tel que $0 \leqslant k \leqslant n - 1$.
		\item Démontrer que si $\displaystyle\lim_{n \to  + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$, alors on a également
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = 
\text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$ pour $0 \leqslant k+1 \leqslant n$.
		\item Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel $k$ que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n =  k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k\leqslant n$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que le nombre $n$ est suffisamment grand pour que l'on
 puisse admettre que $\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$
est une approximation acceptable de P$\left(S_n = k \right)$. Utiliser cette approximation pour calculer à $10^{-4}$ près la probabilité pour qu'au cours de cette année il  y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} ; on considère les points A(3~;~0~;~10), B(0~;~0~;~15) et C(0~;~20~;~0).

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
		\item Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point E(9~;~0~;~0).
		\item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
	\end{enumerate}
\item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).
		\item Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

\[20x + 9y + 12z - 180 = 0.\]

		\item Montrer que le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x 					& =& 0\\
4y -3z 				&= & 0\\
20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right.$ a une solution unique. Que représente cette solution ?
		\item Calculer la distance OH, en déduire que EH $= 15$ et l'aire du triangle EBC.
	\end{enumerate}
\item En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en \textbf{2. c.} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des 
trois nombres $p$,\:$p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par 
3.
		\item Les entiers naturels $a$,\: $b$ et $c$ sont dans  cet ordre les trois premiers terme d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers.
	\end{enumerate}

\item Soit E l'ensemble  des triplets d'entiers relatifs 
$(u~;~~v~;~w)$ tels que

\[3u + 13v + 23w = 0.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour un tel triplet $v \equiv w
 ~~(\text{mod} \quad 3)$
	\item On pose $v = 3k + r$ et $w = 3k' + r$ où $k$,\:$k'$ et $r$ sont 
 des entiers relatifs et $0 \leqslant r \leqslant 2$.

Montrer que les éléments de E sont de la forme :

\[(-13k - 23k' - 12r~;~3k + r~;~3k' + r).\]
	\item L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et  soit P le plan d'équation $3x + 13y + 23z = 0$.

Déterminer l'ensemble des points $M$ à coordonnées $(x,~y,~z)$ entières 
relatives appartenant au plan P et situés à l'intérieur du cube de centre O, 
de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on définit sur $\R$ la fonction numérique 
$f_n$ par :

\[f_0(x) = \dfrac{1}{1+x^2}~~\text{et pour}~ n~ \text{entier naturel non 
nul}~~f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^2}.\]

On note $\Gamma_n$, la courbe représentative de $f_n$, dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4 cm.

On désigne par $I_n$ l'intégrale $I_n = \displaystyle\int_0^1 
f_n(t)\:\text{d}t$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et 
en $- \infty$. Quelle est la conséquence graphique de ces résultats ?
		\item Étudier les variations de $f_1$.
		\item Tracer la courbe $\Gamma_1$.
		\item Calculer I$_1$.
	\end{enumerate}
\item
	 \begin{enumerate}
	 	\item Étudier les limites de $f_3$ en $+ \infty$.
		\item Étudier les variations de $f_3$.
		\item Tracer la courbe $\Gamma_3$ sur le même dessin qu'au \textbf{1. c.}.
	\end{enumerate}
\item Calculer $\text{I}_1 + \text{I}_3$. En déduire la valeur de $\text{I}_3$.
\item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par les courbes
 $\Gamma_1,~ \Gamma_3$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4~cm.

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les limites de $f_0$ en $+ \infty$ et 
en $- \infty$.
		\item Étudier les variations de $f_0$.
	\end{enumerate}

\item Soit $\left(a_n\right)$ la suite définie, pour $n$ entier naturel non nul, par $a_n = \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$.
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement $a_n$.
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
		\item Montrer que pour tout réel $t~ :~\dfrac{1}{1 + t^2} \leqslant 1$ et en déduire que $a_1 \leqslant 1$.
		\item Montrer que pour tout réel $t$ non nul : $\dfrac{1}{1+t^2} \leqslant \dfrac{1}{t^2}$  et en déduire que pour tout entier naturel non  nul,~$\displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t \leqslant 1 - \dfrac{1}{n}$.
		\item Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier naturel $n$ non nul,~$a_n \leqslant 2$. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite $\left(a_n\right)$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit $F$ la fonction telle que :

\[ F(0) = 0,\: F\: \text{dérivable sur}~\R~ \text{et}\: F'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item On pose, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,~H(x) = F[\tan(x)]$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $H(0)$.
		\item Montrer que $H$ est dérivable sur $\left]- 
\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et calculer $H'(x)$.
		\item En déduire que, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,$\: $H(x) =  x$.
		\item Montrer que $F(1) = \dfrac{\pi}{4}$.
	\end{enumerate}
\item On pose, pour tout $x$ réel positif ou nul, $k(x) = 
F\left( \dfrac{1}{x + 1}\right) + F\left( \dfrac{x}{x + 2}\right)$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $k$ est dérivable sur $\R^{+}$ et déterminer $k'(x)$.
		\item En déduire la valeur de	$F\left( \dfrac{1}{2}\right) + F\left(\dfrac{1}{3}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}