%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Nouvelle-Calédonie novembre 2003}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2003}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Nouvelle-Calédonie S~\decofourright\\[7pt]novembre 2003}}\end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On observe sur une longue période le nombre d'accidents de scooters à un carrefour. Il est alors possible de proposer la modélisation suivante : pour $n$ scooters franchissant le carrefour durant une année ($n$ est un grand nombre inconnu), on admet que la variable aléatoire $S_n$ qui totalise le nombre d'accidents de scooters à ce carrefour durant cette année suit une loi binomiale ; on estime que l'espérance mathématique de $S_n$ notée E$\left(S_n\right)$ est égale à 10. Soit $p$ la probabilité pour un scooter d'être accidenté à ce carrefour pendant l'année considérée. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $p$, puis justifier l'égalité P$\left(S_n = k\right) = {n \choose k} \left(\dfrac{10}{n}\right)^k \left(1 - \dfrac{10}{n}\right)^{n-k}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k \leqslant n$. \item \begin{enumerate} \item Établir l'égalité $\ln \left[\text{P}(S_n = 0)\right] = -10 \times \dfrac{\ln \left(1 - \frac{10}{n}\right)}{\frac{-10}{n}}$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien ; en déduire que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = 0\right) = \text{e}^{-10}$. \item Démontrer que P$\left(S_n =k+1\right) = \text{P}\left(S_n = k\right) \times \dfrac{n-k}{n-10} \times \dfrac{10}{k+1}$, où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k \leqslant n - 1$. \item Démontrer que si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$, alors on a également $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k+1\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^{k+1}}{(k+1)!}$ pour $0 \leqslant k+1 \leqslant n$. \item Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel $k$ que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \text{P}\left(S_n = k\right) = \text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ où $k$ est un entier naturel tel que $0 \leqslant k\leqslant n$. \end{enumerate} \item On suppose que le nombre $n$ est suffisamment grand pour que l'on puisse admettre que $\text{e}^{-10}\dfrac{10^k}{k!}$ est une approximation acceptable de P$\left(S_n = k \right)$. Utiliser cette approximation pour calculer à $10^{-4}$ près la probabilité pour qu'au cours de cette année il y ait au moins trois accidents de scooters à ce carrefour. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 }\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk{} ; on considère les points A(3~;~0~;~10), B(0~;~0~;~15) et C(0~;~20~;~0). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB). \item Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point E(9~;~0~;~0). \item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés. \end{enumerate} \item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC \begin{enumerate} \item Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC. \item Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH). \item Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne \[20x + 9y + 12z - 180 = 0.\] \item Montrer que le système $\left\{\begin{array}{l c l} x & =& 0\\ 4y -3z &= & 0\\ 20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\ \end{array}\right.$ a une solution unique. Que représente cette solution ? \item Calculer la distance OH, en déduire que EH $= 15$ et l'aire du triangle EBC. \end{enumerate} \item En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en \textbf{2. c.} ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $p$ un entier naturel. Montrer que l'un des trois nombres $p$,\:$p + 10$ et $p + 20$, et l'un seulement est divisible par 3. \item Les entiers naturels $a$,\: $b$ et $c$ sont dans cet ordre les trois premiers terme d'une suite arithmétique de raison 10. Déterminer ces trois nombres sachant qu'ils sont premiers. \end{enumerate} \item Soit E l'ensemble des triplets d'entiers relatifs $(u~;~~v~;~w)$ tels que \[3u + 13v + 23w = 0.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour un tel triplet $v \equiv w ~~(\text{mod} \quad 3)$ \item On pose $v = 3k + r$ et $w = 3k' + r$ où $k$,\:$k'$ et $r$ sont des entiers relatifs et $0 \leqslant r \leqslant 2$. Montrer que les éléments de E sont de la forme : \[(-13k - 23k' - 12r~;~3k + r~;~3k' + r).\] \item L'espace est rapporté à un repère orthonormal d'origine O et soit P le plan d'équation $3x + 13y + 23z = 0$. Déterminer l'ensemble des points $M$ à coordonnées $(x,~y,~z)$ entières relatives appartenant au plan P et situés à l'intérieur du cube de centre O, de côté 5 et dont les arêtes sont parallèles aux axes. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} \medskip \emph{Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on définit sur $\R$ la fonction numérique $f_n$ par : \[f_0(x) = \dfrac{1}{1+x^2}~~\text{et pour}~ n~ \text{entier naturel non nul}~~f_n(x) = \dfrac{x^n}{1 + x^2}.\] On note $\Gamma_n$, la courbe représentative de $f_n$, dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4 cm. On désigne par $I_n$ l'intégrale $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(t)\:\text{d}t$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. Quelle est la conséquence graphique de ces résultats ? \item Étudier les variations de $f_1$. \item Tracer la courbe $\Gamma_1$. \item Calculer I$_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f_3$ en $+ \infty$. \item Étudier les variations de $f_3$. \item Tracer la courbe $\Gamma_3$ sur le même dessin qu'au \textbf{1. c.}. \end{enumerate} \item Calculer $\text{I}_1 + \text{I}_3$. En déduire la valeur de $\text{I}_3$. \item Calculer, en unités d'aire, l'aire du domaine limité par les courbes $\Gamma_1,~ \Gamma_3$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour cette partie, on dessinera la figure demandée dans un nouveau repère orthonormal \Oij, unité graphique : 4~cm. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier les limites de $f_0$ en $+ \infty$ et en $- \infty$. \item Étudier les variations de $f_0$. \end{enumerate} \item Soit $\left(a_n\right)$ la suite définie, pour $n$ entier naturel non nul, par $a_n = \displaystyle\int_0^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement $a_n$. \item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante. \item Montrer que pour tout réel $t~ :~\dfrac{1}{1 + t^2} \leqslant 1$ et en déduire que $a_1 \leqslant 1$. \item Montrer que pour tout réel $t$ non nul : $\dfrac{1}{1+t^2} \leqslant \dfrac{1}{t^2}$ et en déduire que pour tout entier naturel non nul,~$\displaystyle\int_1^n \dfrac{1}{1 + t^2}\:\text{d}t \leqslant 1 - \dfrac{1}{n}$. \item Montrer, en utilisant les questions précédentes, que pour tout entier naturel $n$ non nul,~$a_n \leqslant 2$. Que peut-on en déduire pour la convergence de la suite $\left(a_n\right)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $F$ la fonction telle que : \[ F(0) = 0,\: F\: \text{dérivable sur}~\R~ \text{et}\: F'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}.\] \begin{enumerate} \item On pose, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,~H(x) = F[\tan(x)]$. \begin{enumerate} \item Calculer $H(0)$. \item Montrer que $H$ est dérivable sur $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ et calculer $H'(x)$. \item En déduire que, pour tout $x$ de $\left]- \dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right[,$\: $H(x) = x$. \item Montrer que $F(1) = \dfrac{\pi}{4}$. \end{enumerate} \item On pose, pour tout $x$ réel positif ou nul, $k(x) = F\left( \dfrac{1}{x + 1}\right) + F\left( \dfrac{x}{x + 2}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $k$ est dérivable sur $\R^{+}$ et déterminer $k'(x)$. \item En déduire la valeur de $F\left( \dfrac{1}{2}\right) + F\left(\dfrac{1}{3}\right)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}