\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat ES}}
\rfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\lfoot{\small {novembre 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat ES 
Nouvelle-Calédonie novembre 2003}}\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

Jimmy s'entraîne à un jeu électronique.

Il arrive à l'entrée A d'un labyrinthe virtuel, schématisé par le dessin ci-dessous, 
où les doubles flèches représentent des portes s'ouvrant dans les deux sens :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,linewidth=1.35pt}
\begin{pspicture}(12,6)
\psline(5.5,6)(0,6)(0,0)(5.2,0)
\psline(6.2,0)(12,0)(12,6)(6.5,6)
\psline(0,4.2)(12,4.2)
\psline(0,2)(12,2)
\psline(2.6,4.2)(2.6,6)
\psline(9.6,4.2)(9.6,6)
\psline(6,2)(6,4.2)
\psline(3,0)(3,2)
\psline(8.5,0)(8.5,2)
\rput(2.6,5.1){$\Longleftrightarrow$} \rput(3,1){$\Longleftrightarrow$}
\rput(8.5,1){$\Longleftrightarrow$}
\rput{90}(1.3,4.2){$\Longleftrightarrow$} \rput{90}(4.5,4.2){$\Longleftrightarrow$}
\rput{90}(8.5,4.2){$\Longleftrightarrow$}\rput{90}(11,4.2){$\Longleftrightarrow$}
\rput{90}(1.5,2){$\Longleftrightarrow$}\rput{90}(5.1,2){$\Longleftrightarrow$}
\rput{90}(10.8,2){$\Longleftrightarrow$}
\rput(1.3,5.1){F} \rput(6,5.1){G} \rput(11,5.1){H} 
\rput(3,3.1){D} \rput(8.5,3.1){E} \rput(1.3,1){B} 
\rput(5.6,1){A} \rput(10.6,1){C} 
\end{pspicture} 
\end{center}

Son parcours est régi par les règles suivantes :

$\bullet~$ Il passe au hasard d'une salle à une autre, chaque porte possible 
étant équiprobable.

$\bullet~$ Dès qu'il franchit une porte, elle se referme derrière lui, l'empêchant ainsi de la
 franchir à nouveau.

$\bullet~$ La sortie est G. Il gagne la partie dès qu'il arrive en G.

$\bullet~$ S'il franchit trois portes, l'entrée en A et la sortie en G non 
comprises, toutes les portes se ferment et la partie est terminée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Jimmy décide de jouer une partie.
	\begin{enumerate}
		\item Construire l'arbre pondéré des différents trajets possibles.
		\item Montrer que la probabilité du trajet ABDF est de 
$\dfrac{1}{9}$.
		\item Montrer que la probabilité que Jimmy gagne est de $\dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}
\item Jimmy joue trois fois de suite. Les trois parties successives sont
 indépendantes.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité  qu'il gagne une partie et une seule.
		\item Calculer la probabilité qu'il gagne au moins une partie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

La courbe donnée ci-dessous représente une fonction $F$ définie sur 
$]0~;~+ \infty[$. On note $F'$ la fonction dérivée de $F$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner les valeurs de : 
$F(1),\: F'(1),\: F(4)$.
		\item La tangente à la courbe au point A$(4~;  4\ln4 - 4)$ passe par le point B$(0~;~-4)$.

Déterminer par lecture graphique la valeur de son coefficient directeur. En 
déduire $F'(4)$.
		\item On note $f$ la fonction dont $F$ est une primitive. Donner la valeur de : $\displaystyle\int_1^4 f(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item On donne : $F(x) = x\ln(x) -  x$ pour $x > 0$. On appelle $a$
 le nombre strictement positif tel que $\displaystyle\int_1^a 
 f(x)\:\text{d}t = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $F(a)$ en fonction de $a$.
		\item Calculer la valeur exacte de $a$ et une valeur approchée
 de $a$ à $10^{-3}$ près.
		\item Calculer l'expression de $F'(x)$ pour $x > 0$.
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant $F$ au point d'abscisse $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(12,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-2,-5)(12,6)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-5)(12,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](4,1.54518){A}
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,1.54518)(0,1.54518)
\uput[l](-0.3,1.54518){$4\ln 4 - 4$}\uput[dl](0,0){O}
\psline[linewidth=1.25pt](7.213,6)(-0.721,-5)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,-1)(2,-1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=4000]{0.001}{6.7}{x x ln mul x sub}
\end{pspicture} \end{center}
\vspace{0,5cm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Candidats ayant  choisi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Un magasin de logiciels de jeux décide de lancer la commercialisation d'un nouveau produit.

Pour cela, il planifie sur trois ans ses objectifs trimestriels de prix de vente en se basant sur la loi de l'offre et de la demande.

$n$ étant un entier naturel, on  désigne par $v_n$ l'indice du prix de vente lors du $n$-ième trimestre. L'indice de départ est noté $v_0$.
On a : $v_0 = 100$ et $v_{n+1} = \dfrac{4}{5}v_n + 28$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose : $u_n = v_n - 140$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de 
raison $\dfrac{4}{5}$ de premier terme $(-40)$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, puis $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par $d_n$ l'indice de la demande lors du $n$-ième trimestre.

Sachant que : $d_n = \dfrac{750}{7} - \dfrac{5}{7}v_n$, calculer $d_0$  et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
\item Calculer les valeurs des deux indices au bout des trois ans.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\textbf{Partie A : Fonction offre}

\bigskip

Dans un magasin, pour le marché d'un produit audiovisuel, l'offre hebdomadaire, exprimée en dizaines d'articles de ce produit, est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^{ax} - 1}{4}\]

où $a$ est un nombre réel positif et où $x$ représente le prix de vente
unitaire de ce produit exprimé en centaines d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'un prix de vente unitaire de 400 \euro~ (qui se 
traduit par $x =  4$) correspond à une offre de 745 dizaines d'articles, déterminer la valeur exacte de $a$. Dans la suite du problème, on prendra : $a = 2$.
\item Étude de la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ 
par : $f(x) = \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{4}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
		\item Calculer l'expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la dérivée de 
$f$ en déduire le sens de variations de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ (unités 
graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  Fonction demande}

\medskip

Dans ce même magasin pour le même article la demande hebdomadaire, exprimée en dizaines d'articles, est donnée en fonction du prix unitaire $x$, exprimé en centaines d'euros par une fonction $g$ définie sur $[0 ~;~ + \infty[$ par :

\[g(x) = \dfrac{12}{\text{e}^{2x} + 1}\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$.
\item Calculer l'expression de $g'(x)$, où $g'$ désigne la dérivée 
de $g$ ; en déduire le sens de variations de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_g$, représentative de $g$ sur le 
même graphique que  $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :  Prix d'équilibre}

\medskip

On note $(p~;~ q)$ les coordonnées du point d'intersection des deux 
courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.

\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, donner un encadrement de $p$ 
à $10^{-1}$ près.
\item Par le calcul, on résolvant l'équation $f(p) = g(p)$, 
vérifier que : $p = \dfrac{\ln 7}{2}$.
\item Calculer la valeur exacte de $q$.
\item Le nombre $p$ correspond, selon la loi de l'offre et de la demande,
 au prix d'équilibre. Donner ce prix d'équilibre en euro au centime près par 
 excès ainsi que le nombre d'articles offerts assurant l'équilibre du marché.
 \end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D : Équilibre, offre et demande}

\medskip

On considère $\text{R}_1 =  pq - \displaystyle\int_0^p f(x)\:\text{d}x \quad  \text{et R}_2 = \displaystyle\int_0^p g(x)\:\text{d}x - pq$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de R$_1$.
\item Soit la fonction $G$ définie sur $[0~;~+ \infty[$
par : $G(x) = 6\left[2x - \ln\left(\text{e}^{2x} +1\right)\right]$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $G$ est une primitive de $g$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Calculer R$_2$, et vérifier que 1,898 en est une valeur 
approchée.
	\end{enumerate}
\item Interpréter économiquement les quantités $pq,\: 
\text{R}_1$ et R$_2$.
\end{enumerate}
\end{document}