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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Le baccalauréat de 1997}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{décembre 1997}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle Calédonie décembre 1997~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

Un artisan est contacté à domicile par ses clients sur appel téléphonique et dispose d'un répondeur.
 
Quand l'artisan est absent, il branche systématiquement son répondeur. Quand il est présent, il le branche une fois sur trois.
 
Quand un client téléphone, il a quatre chances sur cinq d'obtenir le répondeur et une chance sur cinq d'obtenir l'artisan.
 
On note $P(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ et $p(E/F)$ la probabilité conditionnelle de $E$ sachant $F$.
 
Un client téléphone à l'artisan.
 
On note : 

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $R$ l'évènement \og le client obtient le répondeur \fg{}; 
\item[ ] $A$ l'évènement \og l'artisan est présent \fg{} ; 
\item[ ] $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ ;
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(R)$, ainsi que les probabilités conditionnelle $P(R/A)$ et $P\left(R/\overline{A}\right)$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $P(R)$ en fonction de $P(R/A),\: P\left(R/\overline{A}\right)$ et $P(A)$. 
		\item En déduire l'égalité $\dfrac{4}{5} = - \dfrac{2}{3}P(A) + 1$ et calculer la probabilité que l'artisan soit présent.
	\end{enumerate} 
\item Un client téléphone; il obtient le répondeur. Déterminer la probabilité que l'artisan soit présent. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation d'inconnue complexe $z$ : 

\[z^2 + 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]
 
Résoudre cette équation dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes.
 
Écrire les solutions sous forme trigonométrique. 
\item Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).
 
Les points I et J du plan ont pour affixes respectives : $z_{\text{I}} = - \sqrt{3} + \text{i}$ et  $z_{\text{J}} = - \sqrt{3} - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le cercle de centre O et de rayon 2, et placer les points I et J sur la figure. 
		\item Montrer que le point J est l'image du point I par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. 
		\item En déduire la nature du triangle OIJ.
	\end{enumerate} 
\item Soit B le milieu du segment [OI].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point B et placer le point B sur la figure. 
		\item Préciser la nature du triangle JBO.
	\end{enumerate} 
\item Soit A le point du plan défini par l'égalité vectorielle $\vect{\text{BA}} = - \dfrac{1}{2} \vect{\text{OJ}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe du point A et placer le point A sur la figure. 
		\item Vérifier que le point A est l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$. 
		\item Montrer que le point A est le barycentre des points J, O, B affectés de coefficients que l'on déterminera. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 5 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe $P$ est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 15~cm). Soit $t$ un nombre réel positif. On note $M(t)$ le point de $P$ de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$ définies par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)&=&\text{e}^{-\frac{t}{2}}\cos \left(\dfrac{\pi}{2}t\right)\\ 
y(t)&=&\text{e}^{-\frac{t}{2}}\sin \left(\dfrac{\pi}{2}t\right).
\end{array}\right.\] 
\renewcommand\arraystretch{1}
 
Quand $t$ varie dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$, le point $M(t)$ parcourt une courbe paramétrée notée $\Gamma$.
 
On a représenté sur la figure donnée, la partie de $\Gamma$ correspondant aux valeurs de $t$ appartenant à l'intervalle [0~;~6].
 
Le but de l'exercice est d'étudier des propriétés géométriques de certains points de $\Gamma$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $t$, l'affixe $z(t)$ du point $M(t)$. 
		\item Préciser le module et un argument de $z(t)$. 
	\end{enumerate}
\item Tracer les points $M(0),\: M(1), M(2),\: M(3)$ et $M(4)$ sur la figure donnée en annexe. 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, exprimer $z(t + 1)$ en fonction de $z(t)$. 
		
En déduire que $M(t + 1)$ est l'image de $M(t)$ par la similitude directe de 
centre O, de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. On note $s$ cette similitude.  
		\item Pour tout nombre réel $t \geqslant 0$, exprimer $z(t + 2)$ en fonction de $z(t)$.
		
Justifier que $M(t + 2)$ est l'image de $M(t)$ par une homothétie $h$ dont on précisera les éléments caractéristiques.
	\end{enumerate} 
\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier chaque réponse. 
	\begin{enumerate}
		\item Les points $M(2)$ et $h(M(0))$ sont confondus. 
		\item Les points $M(1)$ et $M(3)$ sont symétriques par rapport au point O. 
		\item Les points $M(n)$, où $n$ est un entier naturel, sont les points d'intersection de $\Gamma$ avec les axes de coordonnées. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=4cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.3)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.3)(1,1)
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](0.55,0.55){$\Gamma$}
\parametricplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{90 t mul cos 2.71828 t 2 div exp div  90 t mul sin 2.71828 t 2 div exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}~\textrm{et}~g(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{-x}}\]

On note $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ les courbes représentatives des 
fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique 4~cm).

\begin{center} \textbf{A. Étude des fonctions \boldmath$f$\unboldmath et 
    \boldmath$g$\unboldmath} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
		\item Calculer les limites de $f$ en $+~\infty$  et $-~\infty$. Préciser les éventuelles asymptotes à $\mathcal{C}$.
		\item Prouver que le point $\Omega$ de coordonnées 
$\left(0~;~\dfrac{1}{2}\right)$  est centre de symétrie de 
$\mathcal{C}$.
		\item On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point $\Omega$. Déterminer le 
coefficient directeur de $T$. 
		\item Représenter $T$ et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En observant que, pour tout nombre réel $x$, on a $g(x) = f(- x)$ , montrer
que $\Gamma$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une symétrie que l'on 
déterminera.
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, on a $f(x) + g(x) = 1.$
En déduire que $\Gamma$ est l'image de $\mathcal{C}$ par une autre symétrie que l'on déterminera.
		\item Déterminer le c{\oe}fficient directeur de la tangente $T'$ à $\Gamma$ au 
point $\Omega.$
		\item Représenter $T'$ et $\Gamma$ sur la figure de la question 1. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{B. Calcul d'une aire} \end{center}

On note $I = \displaystyle\int_{0}^1	f(t)\:\text{d}t$ et $J = \displaystyle\int_{0}^1 
g(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant l'égalité de la question A. 2. b., calculer $I + J$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $t,~\dfrac{1}{1 + \text{e}^{-t}}$
peut s'écrire sous la forme $\dfrac{\text{e}^t}{\text{e}^t + 1}$.
		\item En déduire une primitive $G$ de $g$ sur $\R$, puis la valeur de 
$J$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur de $I$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~+ 
\infty[,$

$ f(x) \leqslant g(x)$.
		\item On note $\Delta$ l'ensemble des points du plan dont les 
coordonnées $(x~;~y)$ vérifient 

\[\left\{ \begin{array}{r c l}
0 &\leqslant x\leqslant & 1,\\
f(x) &\leqslant y \leqslant& g(x)
\end{array}
\right.\]

On note $A$ l'aire, exprimée en cm$^2$, du domaine $A$. Exprimer $A$ en fonction de
$I $ et $J$. Donner une approximation décimale de $A$ à $10^{- 2}$ 
près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{C. Étude d'une fonction définie par une 
intégrale} \end{center}

On considère les fonctions $h$ et $H$ définies sur $[0~;~+ \infty[$ par : 

\[h(x) = \text{e}^x \ln \left(1 + \text{e}^{- x}\right)~ \textrm{et}~ H (x) = 
\int_{0}^x h(t)\:\text{d}t.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0, +~\infty[$
~$h(x)$ est strictement positif.
		\item En déduire que $H$ est strictement croissante sur $[0, 
+~\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On note $h'$ la fonction dérivée de $h$.

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$

$h(x) = h^{\prime}(x) + g(x)$.

En déduire $H (x)$ en fonction de $x$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $[0, 
+~\infty[$,

\[h(x) = \dfrac{\ln \left(1 + \text{e}^{- x}\right)}{\text{e}^{-x}}.\]

En déduire la limite de $h$ en $+~\infty$.
		\item Déterminer la limite de $H$ en $+~\infty$.
		
Prouver finalement que $\displaystyle\lim_{x \to +~\infty} [H(x) - x] = 1 - 2\ln 2.$

Interpréter graphiquement ce dernier résultat. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}